Exponentialfunktion zur Basis 2

2.1. Vorbereitung für die Reihenentwicklung

Um zur Berechnung eine Potenzreihe nutzen zu können, wechseln wir zur Basis e:

$$f\left(a\right)=2^a-1=e^{a{\log }_{e}2}-1$$

$$S≔{\log }_{e}2$$

$$z≔aS$$

$$g\left(z\right)≔e^z-1=2^a-1=f\left(a\right)$$

Die Konstante $S={\log }_{e}2\approx 0.693$ liegt im erlaubten Bereich, und es gilt $z<{\log }_{e}2$.

Damit die Potenzreihe schnell konvergiert, zerlegen wir z:

$$z=y+xmity∊\{0,\mathrm{¼},\mathrm{½}\}und0\le x<\mathrm{¼}$$

und nutzen das Potenzgesetz der Addition:

$$g\left(z\right)=g\left(y+x\right)=e^{y+x}-1=e^y{e}^x-1$$

y kann nur die drei Werte 0, ¼ und ½ annehmen; deshalb können die konstanten Werte von e⁰, e^¼ und e^½ vorab berechnet und in einer Tabelle bereitgestellt werden.

Weil y und x nicht negativ sind, sind die Potenzen e^y und ^x größer oder gleich 1 und liegen damit außerhalb des erlaubten Bereiches. Deshalb definieren wir:

$$g_1\left(y\right)≔e^y-1$$ $$g_2\left(x\right)≔e^x-1$$

Wie man leicht nachrechnen kann, liegen die Werte von g₁(y) und g₂(x) zwischen 0 und 1. Damit können wir g(z) innerhalb des erlaubten Zahlenbereiches berechnen:

$$g\left(z\right)=e^y{e}^x-1=(\underbrace{e^y-1}+1)(\underbrace{e^x-1}+1)-1$$

$$g\left(z\right)=(g_1\left(y\right)+1)(g_2\left(x\right)+1)-1$$

$$g\left(z\right)=g_1\left(y\right)g_2\left(x\right)+g_1\left(y\right)+g_2\left(x\right)$$

Die Exponentialfunktion zur Basis e kann als Potenzreihe berechnet werden:

$$g_2\left(x\right)=e^x-1=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}-1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

Dabei berücksichtigen wir aber nur die Terme bis zu einem Grad N:

$$\widetilde{g_2}\left(x\right)≔\sum _{n=1}^N\frac{x^n}{n!}\approx \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=g_2\left(x\right)$$

2.2. Horner-Schema

Die Potenzreihe lässt sich nach dem Horner-Schema umformen, um Rechenoperationen zu sparen und Rundungsfehler zu minimieren. Wir benutzen im Beispiel N = 4:

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}$$

Wir klammern nacheinander x, x/2, x/3 usw. aus:

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x(1+\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24})$$

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x(1+\frac{\mathrm{x}}{2}(1+\frac{x}{3}+\frac{x^2}{12}))$$

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x(1+\frac{\mathrm{x}}{2}(1+\frac{x}{3}(1+\frac{x}{4})))$$

Leider liegen wegen der Additionen der 1 die Zwischenergebnisse außerhalb des uns erlaubten Bereiches. Deshalb nutzen wir ein modifiziertes Horner-Schema.

2.3. Modifiziertes Horner-Schema

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}$$

Wir klammern nacheinander x/2, x/3 usw. aus, lassen aber jeweils das führende x stehen:

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x+\frac{x}{2}(x+\frac{x^2}{3}+\frac{x^3}{12})$$

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x+\frac{x}{2}(x+\frac{x}{3}(x+\frac{x^2}{4}))$$

$$\sum _{n=1}^4\frac{x^n}{n!}=x+\frac{x}{2}(x+\frac{x}{3}(x+\frac{x}{4}\left(x\right)))$$

Damit ergibt sich diese Berechnungsfolge, bei der für x<log_e2 alle Zwischenergebnisse h_j kleiner als 1 sind:

$$h_4≔x$$

$$h_3≔x+\frac{x}{4}{h}_4=h_{4}x\frac{1}{4}+x$$

$$h_2≔x+\frac{x}{3}{h}_3=h_{3}x\frac{1}{3}+x$$

$$h_1≔x+\frac{x}{2}{h}_2=h_{2}x\frac{1}{2}+x$$

2.4. Vollständiger Algorithmus

Einige Konstanten werden vorab berechnet:

$$S_{\phantom{0}}≔{log}_{\mathrm{e}}\left(2\right)=0.6931471805599453$$

$$C_0≔g_1\left(0\right)={\mathrm{e}}^{\frac{0}{4}}-1=0$$

$$C_1≔g_1\left(\mathrm{¼}\right)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{4}}-1=0.2840254167$$

$$C_2≔g_1\left(\mathrm{½}\right)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}-1=0.6487212707$$

Berechnung von f(a):

$$z≔Sa$$

$$i≔\lfloor 4z\rfloor ∊\{0,1,2\}$$

$$y≔i/4$$

$$x≔z-y$$

$$h≔x$$

$$h≔hx/7+x$$

$$h≔hx/6+x$$

$$h≔hx/5+x$$

$$h≔hx/4+x$$

$$h≔hx/3+x$$

$$h≔hx/2+x$$

$$f\left(a\right)≔C_{i}h+C_i+h$$