Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1058 / 1118
↖ ↑ ↗
← S 16.299051°
E  5.976562°		 ← 18.760 km → S 16.299051°
E  6.152344°		 →
↑
18.752 km
↓
↑
18.752 km
↓
S 16.467695°
E  5.976562°		 ← 18.744 km →
351.650 km²		 S 16.467695°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516845703125 y=0.546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516845703125 × 211)
    floor (0.516845703125 × 2048)
    floor (1058.5)     		tx = 1058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546142578125 × 211)
    floor (0.546142578125 × 2048)
    floor (1118.5)     		ty = 1118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1058 / 1118 ti = "11/1058/1118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1058/1118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1058 ÷ 211
    1058 ÷ 2048     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1118 ÷ 211
    1118 ÷ 2048     		y = 0.5458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5458984375 × 2 - 1) × π
    -0.091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.288388388114258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.288388388114258))-π/2
    2×atan(0.749470450289785)-π/2
    2×0.643162110823916-π/2
    1.28632422164783-1.57079632675     		φ = -0.28447211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28447211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.299051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1058 KachelY 1118 0.10431069 -0.28447211 5.976562 -16.299051
    Oben rechts KachelX + 1 1059 KachelY 1118 0.10737866 -0.28447211 6.152344 -16.299051
    Unten links KachelX 1058 KachelY + 1 1119 0.10431069 -0.28741549 5.976562 -16.467695
    Unten rechts KachelX + 1 1059 KachelY + 1 1119 0.10737866 -0.28741549 6.152344 -16.467695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28447211--0.28741549) × R
    0.00294338 × 6371000     		dl = 18752.27398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28447211--0.28741549) × R
    0.00294338 × 6371000     		dr = 18752.27398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10737866) × cos(-0.28447211) × R
    0.00306797 × 0.959809939144049 × 6371000     		do = 18760.4804587021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10737866) × cos(-0.28741549) × R
    0.00306797 × 0.958979720690072 × 6371000     		du = 18744.2529781905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28447211)-sin(-0.28741549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959809939144049-0.958979720690072)×R²
    abs(0.10737866-0.10431069)×0.000830218453977793×R²
    0.00306797×0.000830218453977793×6371000²
    0.00306797×0.000830218453977793×40589641000000     		ar = 351649772.353843m²