Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1077 / 661
↖ ↑ ↗
← N 53.644638°
E  9.316406°		 ← 11.587 km → N 53.644638°
E  9.492188°		 →
↑
11.601 km
↓
↑
11.601 km
↓
N 53.540308°
E  9.316406°		 ← 11.615 km →
134.584 km²		 N 53.540308°
E  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526123046875 y=0.322998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526123046875 × 211)
    floor (0.526123046875 × 2048)
    floor (1077.5)     		tx = 1077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322998046875 × 211)
    floor (0.322998046875 × 2048)
    floor (661.5)     		ty = 661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1077 / 661 ti = "11/1077/661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1077/661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1077 ÷ 211
    1077 ÷ 2048     		x = 0.52587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 661 ÷ 211
    661 ÷ 2048     		y = 0.32275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52587890625 × 2 - 1) × π
    0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32275390625 × 2 - 1) × π
    0.3544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11367005197314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16260196} λ = 0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11367005197314))-π/2
    2×atan(3.04551510778458)-π/2
    2×1.25353594142983-π/2
    2.50707188285966-1.57079632675     		φ = 0.93627556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93627556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.644638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1077 KachelY 661 0.16260196 0.93627556 9.316406 53.644638
    Oben rechts KachelX + 1 1078 KachelY 661 0.16566993 0.93627556 9.492188 53.644638
    Unten links KachelX 1077 KachelY + 1 662 0.16260196 0.93445465 9.316406 53.540308
    Unten rechts KachelX + 1 1078 KachelY + 1 662 0.16566993 0.93445465 9.492188 53.540308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93627556-0.93445465) × R
    0.00182090999999995 × 6371000     		dl = 11601.0176099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93627556-0.93445465) × R
    0.00182090999999995 × 6371000     		dr = 11601.0176099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16260196-0.16566993) × cos(0.93627556) × R
    0.00306797 × 0.592791629165245 × 6371000     		do = 11586.7270398913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16260196-0.16566993) × cos(0.93445465) × R
    0.00306797 × 0.594257126156798 × 6371000     		du = 11615.371698121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93627556)-sin(0.93445465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592791629165245-0.594257126156798)×R²
    abs(0.16566993-0.16260196)×0.00146549699155329×R²
    0.00306797×0.00146549699155329×6371000²
    0.00306797×0.00146549699155329×40589641000000     		ar = 134584015.211157m²