Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12297 / 4103
↖ ↑ ↗
← N 66.451886°
E 90.197754°		 ← 976.14 m → N 66.451886°
E 90.219727°		 →
↑
976.29 m
↓
↑
976.29 m
↓
N 66.443106°
E 90.197754°		 ← 976.48 m →
953 162 m²		 N 66.443106°
E 90.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750579833984375 y=0.250457763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750579833984375 × 214)
    floor (0.750579833984375 × 16384)
    floor (12297.5)     		tx = 12297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250457763671875 × 214)
    floor (0.250457763671875 × 16384)
    floor (4103.5)     		ty = 4103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12297 / 4103 ti = "14/12297/4103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12297/4103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12297 ÷ 214
    12297 ÷ 16384     		x = 0.75054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4103 ÷ 214
    4103 ÷ 16384     		y = 0.25042724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75054931640625 × 2 - 1) × π
    0.5010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57424778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25042724609375 × 2 - 1) × π
    0.4991455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56811186037128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57424778} λ = 1.57424778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56811186037128))-π/2
    2×atan(4.79758113347085)-π/2
    2×1.36530027057845-π/2
    2.73060054115689-1.57079632675     		φ = 1.15980421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57424778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15980421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.451886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12297 KachelY 4103 1.57424778 1.15980421 90.197754 66.451886
    Oben rechts KachelX + 1 12298 KachelY 4103 1.57463128 1.15980421 90.219727 66.451886
    Unten links KachelX 12297 KachelY + 1 4104 1.57424778 1.15965097 90.197754 66.443106
    Unten rechts KachelX + 1 12298 KachelY + 1 4104 1.57463128 1.15965097 90.219727 66.443106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15980421-1.15965097) × R
    0.000153239999999943 × 6371000     		dl = 976.29203999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15980421-1.15965097) × R
    0.000153239999999943 × 6371000     		dr = 976.29203999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57424778-1.57463128) × cos(1.15980421) × R
    0.00038349999999987 × 0.399519022631707 × 6371000     		do = 976.136238336733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57424778-1.57463128) × cos(1.15965097) × R
    0.00038349999999987 × 0.399659496864673 × 6371000     		du = 976.479456009941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15980421)-sin(1.15965097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399519022631707-0.399659496864673)×R²
    abs(1.57463128-1.57424778)×0.000140474232965593×R²
    0.00038349999999987×0.000140474232965593×6371000²
    0.00038349999999987×0.000140474232965593×40589641000000     		ar = 953161.581648534m²