Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15903 / 17953
↖ ↑ ↗
← S 16.983248°
W  5.284424°		 ← 1 168.30 m → S 16.983248°
W  5.273438°		 →
↑
1 168.31 m
↓
↑
1 168.31 m
↓
S 16.993755°
W  5.284424°		 ← 1 168.24 m →
1 364 906 m²		 S 16.993755°
W  5.273438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485336303710938 y=0.547897338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485336303710938 × 215)
    floor (0.485336303710938 × 32768)
    floor (15903.5)     		tx = 15903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547897338867188 × 215)
    floor (0.547897338867188 × 32768)
    floor (17953.5)     		ty = 17953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15903 / 17953 ti = "15/15903/17953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15903/17953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15903 ÷ 215
    15903 ÷ 32768     		x = 0.485321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17953 ÷ 215
    17953 ÷ 32768     		y = 0.547882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485321044921875 × 2 - 1) × π
    -0.02935791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09223059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.09576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.300851982015472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09223059} λ = -0.09223059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300851982015472))-π/2
    2×atan(0.740187325674725)-π/2
    2×0.63719136112904-π/2
    1.27438272225808-1.57079632675     		φ = -0.29641360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09223059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.284424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29641360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.983248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15903 KachelY 17953 -0.09223059 -0.29641360 -5.284424 -16.983248
    Oben rechts KachelX + 1 15904 KachelY 17953 -0.09203885 -0.29641360 -5.273438 -16.983248
    Unten links KachelX 15903 KachelY + 1 17954 -0.09223059 -0.29659698 -5.284424 -16.993755
    Unten rechts KachelX + 1 15904 KachelY + 1 17954 -0.09203885 -0.29659698 -5.273438 -16.993755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29641360--0.29659698) × R
    0.000183380000000011 × 6371000     		dl = 1168.31398000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29641360--0.29659698) × R
    0.000183380000000011 × 6371000     		dr = 1168.31398000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09223059--0.09203885) × cos(-0.29641360) × R
    0.000191739999999996 × 0.956390196633819 × 6371000     		do = 1168.30287090364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09223059--0.09203885) × cos(-0.29659698) × R
    0.000191739999999996 × 0.956336616704942 × 6371000     		du = 1168.23741897309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29641360)-sin(-0.29659698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956390196633819-0.956336616704942)×R²
    abs(-0.09203885--0.09223059)×5.35799288767791e-05×R²
    0.000191739999999996×5.35799288767791e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.35799288767791e-05×40589641000000     		ar = 1364906.34657308m²