Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16321 / 16323
↖ ↑ ↗
← N  0.670151°
W  0.692139°		 ← 1 221.56 m → N  0.670151°
W  0.681152°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.659165°
W  0.692139°		 ← 1 221.56 m →
1 492 224 m²		 N  0.659165°
W  0.681152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498092651367188 y=0.498153686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498092651367188 × 215)
    floor (0.498092651367188 × 32768)
    floor (16321.5)     		tx = 16321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498153686523438 × 215)
    floor (0.498153686523438 × 32768)
    floor (16323.5)     		ty = 16323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16321 / 16323 ti = "15/16321/16323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16321/16323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16321 ÷ 215
    16321 ÷ 32768     		x = 0.498077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16323 ÷ 215
    16323 ÷ 32768     		y = 0.498138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.00384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01208010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498138427734375 × 2 - 1) × π
    0.00372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01208010} λ = -0.01208010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0116966035072937))-π/2
    2×atan(1.0117652762589)-π/2
    2×0.791246331804109-π/2
    1.58249266360822-1.57079632675     		φ = 0.01169634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01208010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.692139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.01169634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.670151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16321 KachelY 16323 -0.01208010 0.01169634 -0.692139 0.670151
    Oben rechts KachelX + 1 16322 KachelY 16323 -0.01188835 0.01169634 -0.681152 0.670151
    Unten links KachelX 16321 KachelY + 1 16324 -0.01208010 0.01150460 -0.692139 0.659165
    Unten rechts KachelX + 1 16322 KachelY + 1 16324 -0.01188835 0.01150460 -0.681152 0.659165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.01169634-0.01150460) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.01169634-0.01150460) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01208010--0.01188835) × cos(0.01169634) × R
    0.000191749999999999 × 0.999931598595108 × 6371000     		do = 1221.55568815902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01208010--0.01188835) × cos(0.01150460) × R
    0.000191749999999999 × 0.999933822819336 × 6371000     		du = 1221.55840535864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.01169634)-sin(0.01150460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999931598595108-0.999933822819336)×R²
    abs(-0.01188835--0.01208010)×2.22422422757607e-06×R²
    0.000191749999999999×2.22422422757607e-06×6371000²
    0.000191749999999999×2.22422422757607e-06×40589641000000     		ar = 1492224.21360693m²