Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16584 / 16584
↖ ↑ ↗
← S  2.196727°
E  2.197266°		 ← 1 220.74 m → S  2.196727°
E  2.208252°		 →
↑
1 220.75 m
↓
↑
1 220.75 m
↓
S  2.207706°
E  2.197266°		 ← 1 220.73 m →
1 490 211 m²		 S  2.207706°
E  2.208252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506118774414062 y=0.506118774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506118774414062 × 215)
    floor (0.506118774414062 × 32768)
    floor (16584.5)     		tx = 16584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506118774414062 × 215)
    floor (0.506118774414062 × 32768)
    floor (16584.5)     		ty = 16584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16584 / 16584 ti = "15/16584/16584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16584/16584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16584 ÷ 215
    16584 ÷ 32768     		x = 0.506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16584 ÷ 215
    16584 ÷ 32768     		y = 0.506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.506103515625 × 2 - 1) × π
    0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.01220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0383495196960449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03834952} λ = 0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0383495196960449))-π/2
    2×atan(0.962376512554311)-π/2
    2×0.766228101829499-π/2
    1.532456203659-1.57079632675     		φ = -0.03834012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03834012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.196727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16584 KachelY 16584 0.03834952 -0.03834012 2.197266 -2.196727
    Oben rechts KachelX + 1 16585 KachelY 16584 0.03854127 -0.03834012 2.208252 -2.196727
    Unten links KachelX 16584 KachelY + 1 16585 0.03834952 -0.03853173 2.197266 -2.207706
    Unten rechts KachelX + 1 16585 KachelY + 1 16585 0.03854127 -0.03853173 2.208252 -2.207706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03834012--0.03853173) × R
    0.000191610000000002 × 6371000     		dl = 1220.74731000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03834012--0.03853173) × R
    0.000191610000000002 × 6371000     		dr = 1220.74731000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03834952-0.03854127) × cos(-0.03834012) × R
    0.000191750000000004 × 0.99926510762797 × 6371000     		do = 1220.74147663383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03834952-0.03854127) × cos(-0.03853173) × R
    0.000191750000000004 × 0.999257744733596 × 6371000     		du = 1220.73248183307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03834012)-sin(-0.03853173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99926510762797-0.999257744733596)×R²
    abs(0.03854127-0.03834952)×7.36289437319737e-06×R²
    0.000191750000000004×7.36289437319737e-06×6371000²
    0.000191750000000004×7.36289437319737e-06×40589641000000     		ar = 1490211.38817611m²