Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16624 / 10544
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E  2.636719°		 ← 720.60 m → N 53.852527°
E  2.647705°		 →
↑
720.62 m
↓
↑
720.62 m
↓
N 53.846046°
E  2.636719°		 ← 720.71 m →
519 324 m²		 N 53.846046°
E  2.647705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507339477539062 y=0.321792602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507339477539062 × 215)
    floor (0.507339477539062 × 32768)
    floor (16624.5)     		tx = 16624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321792602539062 × 215)
    floor (0.321792602539062 × 32768)
    floor (10544.5)     		ty = 10544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16624 / 10544 ti = "15/16624/10544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16624/10544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16624 ÷ 215
    16624 ÷ 32768     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10544 ÷ 215
    10544 ÷ 32768     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16624 KachelY 10544 0.04601942 0.93990390 2.636719 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 16625 KachelY 10544 0.04621117 0.93990390 2.647705 53.852527
    Unten links KachelX 16624 KachelY + 1 10545 0.04601942 0.93979079 2.636719 53.846046
    Unten rechts KachelX + 1 16625 KachelY + 1 10545 0.04621117 0.93979079 2.647705 53.846046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93979079) × R
    0.000113110000000027 × 6371000     		dl = 720.623810000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93979079) × R
    0.000113110000000027 × 6371000     		dr = 720.623810000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04621117) × cos(0.93990390) × R
    0.000191750000000004 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 720.60300417381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04621117) × cos(0.93979079) × R
    0.000191750000000004 × 0.589956961352887 × 6371000     		du = 720.714579799437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93979079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.589956961352887)×R²
    abs(0.04621117-0.04601942)×9.13327118678975e-05×R²
    0.000191750000000004×9.13327118678975e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.13327118678975e-05×40589641000000     		ar = 519323.884945286m²