Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16920 / 11064
↖ ↑ ↗
← N 50.345461°
E  5.888672°		 ← 779.60 m → N 50.345461°
E  5.899658°		 →
↑
779.68 m
↓
↑
779.68 m
↓
N 50.338449°
E  5.888672°		 ← 779.71 m →
607 884 m²		 N 50.338449°
E  5.899658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516372680664062 y=0.337661743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516372680664062 × 215)
    floor (0.516372680664062 × 32768)
    floor (16920.5)     		tx = 16920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337661743164062 × 215)
    floor (0.337661743164062 × 32768)
    floor (11064.5)     		ty = 11064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16920 / 11064 ti = "15/16920/11064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16920/11064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16920 ÷ 215
    16920 ÷ 32768     		x = 0.516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11064 ÷ 215
    11064 ÷ 32768     		y = 0.337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516357421875 × 2 - 1) × π
    0.03271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10277671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337646484375 × 2 - 1) × π
    0.32470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02009722391479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10277671} λ = 0.10277671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02009722391479))-π/2
    2×atan(2.77346439792296)-π/2
    2×1.22474518716945-π/2
    2.44949037433889-1.57079632675     		φ = 0.87869405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10277671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87869405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.345461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16920 KachelY 11064 0.10277671 0.87869405 5.888672 50.345461
    Oben rechts KachelX + 1 16921 KachelY 11064 0.10296846 0.87869405 5.899658 50.345461
    Unten links KachelX 16920 KachelY + 1 11065 0.10277671 0.87857167 5.888672 50.338449
    Unten rechts KachelX + 1 16921 KachelY + 1 11065 0.10296846 0.87857167 5.899658 50.338449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87869405-0.87857167) × R
    0.000122379999999978 × 6371000     		dl = 779.682979999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87869405-0.87857167) × R
    0.000122379999999978 × 6371000     		dr = 779.682979999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10277671-0.10296846) × cos(0.87869405) × R
    0.000191750000000004 × 0.638157147019085 × 6371000     		do = 779.597818466552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10277671-0.10296846) × cos(0.87857167) × R
    0.000191750000000004 × 0.638251363352774 × 6371000     		du = 779.712916837779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87869405)-sin(0.87857167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638157147019085-0.638251363352774)×R²
    abs(0.10296846-0.10277671)×9.42163336898894e-05×R²
    0.000191750000000004×9.42163336898894e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.42163336898894e-05×40589641000000     		ar = 607884.021182542m²