Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17200 / 10480
↖ ↑ ↗
← N 54.265224°
E  8.964844°		 ← 713.48 m → N 54.265224°
E  8.975830°		 →
↑
713.55 m
↓
↑
713.55 m
↓
N 54.258807°
E  8.964844°		 ← 713.59 m →
509 144 m²		 N 54.258807°
E  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524917602539062 y=0.319839477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524917602539062 × 215)
    floor (0.524917602539062 × 32768)
    floor (17200.5)     		tx = 17200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319839477539062 × 215)
    floor (0.319839477539062 × 32768)
    floor (10480.5)     		ty = 10480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17200 / 10480 ti = "15/17200/10480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17200/10480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17200 ÷ 215
    17200 ÷ 32768     		x = 0.52490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10480 ÷ 215
    10480 ÷ 32768     		y = 0.31982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31982421875 × 2 - 1) × π
    0.3603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13207782142725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15646604} λ = 0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13207782142725))-π/2
    2×atan(3.10209540866655)-π/2
    2×1.25895157814009-π/2
    2.51790315628017-1.57079632675     		φ = 0.94710683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94710683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.265224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17200 KachelY 10480 0.15646604 0.94710683 8.964844 54.265224
    Oben rechts KachelX + 1 17201 KachelY 10480 0.15665779 0.94710683 8.975830 54.265224
    Unten links KachelX 17200 KachelY + 1 10481 0.15646604 0.94699483 8.964844 54.258807
    Unten rechts KachelX + 1 17201 KachelY + 1 10481 0.15665779 0.94699483 8.975830 54.258807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94710683-0.94699483) × R
    0.000112000000000001 × 6371000     		dl = 713.552000000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94710683-0.94699483) × R
    0.000112000000000001 × 6371000     		dr = 713.552000000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15646604-0.15665779) × cos(0.94710683) × R
    0.000191749999999991 × 0.584034001048921 × 6371000     		do = 713.478859015868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15646604-0.15665779) × cos(0.94699483) × R
    0.000191749999999991 × 0.584124911055482 × 6371000     		du = 713.589918248101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94710683)-sin(0.94699483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584034001048921-0.584124911055482)×R²
    abs(0.15665779-0.15646604)×9.09100065613622e-05×R²
    0.000191749999999991×9.09100065613622e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.09100065613622e-05×40589641000000     		ar = 509143.890609026m²