Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17215 / 10559
↖ ↑ ↗
← N 53.755207°
E  9.129638°		 ← 722.28 m → N 53.755207°
E  9.140625°		 →
↑
722.34 m
↓
↑
722.34 m
↓
N 53.748711°
E  9.129638°		 ← 722.39 m →
521 773 m²		 N 53.748711°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525375366210938 y=0.322250366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525375366210938 × 215)
    floor (0.525375366210938 × 32768)
    floor (17215.5)     		tx = 17215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322250366210938 × 215)
    floor (0.322250366210938 × 32768)
    floor (10559.5)     		ty = 10559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17215 / 10559 ti = "15/17215/10559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17215/10559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17215 ÷ 215
    17215 ÷ 32768     		x = 0.525360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10559 ÷ 215
    10559 ÷ 32768     		y = 0.322235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525360107421875 × 2 - 1) × π
    0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322235107421875 × 2 - 1) × π
    0.35552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11692976114731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15934225} λ = 0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11692976114731))-π/2
    2×atan(3.0554587992878)-π/2
    2×1.25450083790113-π/2
    2.50900167580225-1.57079632675     		φ = 0.93820535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93820535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.755207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17215 KachelY 10559 0.15934225 0.93820535 9.129638 53.755207
    Oben rechts KachelX + 1 17216 KachelY 10559 0.15953400 0.93820535 9.140625 53.755207
    Unten links KachelX 17215 KachelY + 1 10560 0.15934225 0.93809197 9.129638 53.748711
    Unten rechts KachelX + 1 17216 KachelY + 1 10560 0.15953400 0.93809197 9.140625 53.748711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93820535-0.93809197) × R
    0.000113380000000052 × 6371000     		dl = 722.34398000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93820535-0.93809197) × R
    0.000113380000000052 × 6371000     		dr = 722.34398000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15934225-0.15953400) × cos(0.93820535) × R
    0.000191750000000018 × 0.591236358612895 × 6371000     		do = 722.277541708657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15934225-0.15953400) × cos(0.93809197) × R
    0.000191750000000018 × 0.591327795594016 × 6371000     		du = 722.389244713696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93820535)-sin(0.93809197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591236358612895-0.591327795594016)×R²
    abs(0.15953400-0.15934225)×9.14369811213511e-05×R²
    0.000191750000000018×9.14369811213511e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.14369811213511e-05×40589641000000     		ar = 521773.178698338m²