Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17216 / 10561
↖ ↑ ↗
← N 53.742214°
E  9.140625°		 ← 722.50 m → N 53.742214°
E  9.151611°		 →
↑
722.54 m
↓
↑
722.54 m
↓
N 53.735716°
E  9.140625°		 ← 722.61 m →
522 073 m²		 N 53.735716°
E  9.151611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525405883789062 y=0.322311401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525405883789062 × 215)
    floor (0.525405883789062 × 32768)
    floor (17216.5)     		tx = 17216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322311401367188 × 215)
    floor (0.322311401367188 × 32768)
    floor (10561.5)     		ty = 10561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17216 / 10561 ti = "15/17216/10561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17216/10561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17216 ÷ 215
    17216 ÷ 32768     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10561 ÷ 215
    10561 ÷ 32768     		y = 0.322296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322296142578125 × 2 - 1) × π
    0.35540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11654626595035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11654626595035))-π/2
    2×atan(3.05428727016602)-π/2
    2×1.25438745221652-π/2
    2.50877490443304-1.57079632675     		φ = 0.93797858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93797858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.742214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17216 KachelY 10561 0.15953400 0.93797858 9.140625 53.742214
    Oben rechts KachelX + 1 17217 KachelY 10561 0.15972575 0.93797858 9.151611 53.742214
    Unten links KachelX 17216 KachelY + 1 10562 0.15953400 0.93786517 9.140625 53.735716
    Unten rechts KachelX + 1 17217 KachelY + 1 10562 0.15972575 0.93786517 9.151611 53.735716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93797858-0.93786517) × R
    0.00011340999999998 × 6371000     		dl = 722.535109999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93797858-0.93786517) × R
    0.00011340999999998 × 6371000     		dr = 722.535109999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.15972575) × cos(0.93797858) × R
    0.000191749999999991 × 0.591419233037247 × 6371000     		do = 722.500948283162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.15972575) × cos(0.93786517) × R
    0.000191749999999991 × 0.591510679002371 × 6371000     		du = 722.612662263411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93797858)-sin(0.93786517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591419233037247-0.591510679002371)×R²
    abs(0.15972575-0.15953400)×9.14459651241151e-05×R²
    0.000191749999999991×9.14459651241151e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.14459651241151e-05×40589641000000     		ar = 522072.661338354m²