Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17232 / 10576
↖ ↑ ↗
← N 53.644638°
E  9.316406°		 ← 724.18 m → N 53.644638°
E  9.327393°		 →
↑
724.26 m
↓
↑
724.26 m
↓
N 53.638125°
E  9.316406°		 ← 724.29 m →
524 530 m²		 N 53.638125°
E  9.327393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525894165039062 y=0.322769165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525894165039062 × 215)
    floor (0.525894165039062 × 32768)
    floor (17232.5)     		tx = 17232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322769165039062 × 215)
    floor (0.322769165039062 × 32768)
    floor (10576.5)     		ty = 10576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17232 / 10576 ti = "15/17232/10576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17232/10576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17232 ÷ 215
    17232 ÷ 32768     		x = 0.52587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10576 ÷ 215
    10576 ÷ 32768     		y = 0.32275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52587890625 × 2 - 1) × π
    0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32275390625 × 2 - 1) × π
    0.3544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11367005197314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16260196} λ = 0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11367005197314))-π/2
    2×atan(3.04551510778458)-π/2
    2×1.25353594142983-π/2
    2.50707188285966-1.57079632675     		φ = 0.93627556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93627556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.644638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17232 KachelY 10576 0.16260196 0.93627556 9.316406 53.644638
    Oben rechts KachelX + 1 17233 KachelY 10576 0.16279371 0.93627556 9.327393 53.644638
    Unten links KachelX 17232 KachelY + 1 10577 0.16260196 0.93616188 9.316406 53.638125
    Unten rechts KachelX + 1 17233 KachelY + 1 10577 0.16279371 0.93616188 9.327393 53.638125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93627556-0.93616188) × R
    0.000113680000000005 × 6371000     		dl = 724.255280000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93627556-0.93616188) × R
    0.000113680000000005 × 6371000     		dr = 724.255280000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16260196-0.16279371) × cos(0.93627556) × R
    0.000191750000000018 × 0.592791629165245 × 6371000     		do = 724.177521259777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16260196-0.16279371) × cos(0.93616188) × R
    0.000191750000000018 × 0.592883178190482 × 6371000     		du = 724.289361142305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93627556)-sin(0.93616188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592791629165245-0.592883178190482)×R²
    abs(0.16279371-0.16260196)×9.15490252365592e-05×R²
    0.000191750000000018×9.15490252365592e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.15490252365592e-05×40589641000000     		ar = 524529.894307841m²