Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2078 / 1318
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E  2.636719°		 ← 5 764.75 m → N 53.852527°
E  2.724609°		 →
↑
5 768.30 m
↓
↑
5 768.30 m
↓
N 53.800651°
E  2.636719°		 ← 5 771.89 m →
33 273 424 m²		 N 53.800651°
E  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5074462890625 y=0.3218994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5074462890625 × 212)
    floor (0.5074462890625 × 4096)
    floor (2078.5)     		tx = 2078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3218994140625 × 212)
    floor (0.3218994140625 × 4096)
    floor (1318.5)     		ty = 1318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2078 / 1318 ti = "12/2078/1318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2078/1318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2078 ÷ 212
    2078 ÷ 4096     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1318 ÷ 212
    1318 ÷ 4096     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2078 KachelY 1318 0.04601942 0.93990390 2.636719 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 2079 KachelY 1318 0.04755340 0.93990390 2.724609 53.852527
    Unten links KachelX 2078 KachelY + 1 1319 0.04601942 0.93899850 2.636719 53.800651
    Unten rechts KachelX + 1 2079 KachelY + 1 1319 0.04755340 0.93899850 2.724609 53.800651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93899850) × R
    0.000905400000000056 × 6371000     		dl = 5768.30340000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93899850) × R
    0.000905400000000056 × 6371000     		dr = 5768.30340000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04755340) × cos(0.93990390) × R
    0.00153398 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 5764.74887271196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04755340) × cos(0.93899850) × R
    0.00153398 × 0.590596498554121 × 6371000     		du = 5771.89165456443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93899850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.590596498554121)×R²
    abs(0.04755340-0.04601942)×0.000730869913101562×R²
    0.00153398×0.000730869913101562×6371000²
    0.00153398×0.000730869913101562×40589641000000     		ar = 33273423.6620247m²