Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2117 / 1389
↖ ↑ ↗
← N 50.007739°
E  6.064453°		 ← 6 280.98 m → N 50.007739°
E  6.152344°		 →
↑
6 284.67 m
↓
↑
6 284.67 m
↓
N 49.951220°
E  6.064453°		 ← 6 288.37 m →
39 497 135 m²		 N 49.951220°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5169677734375 y=0.3392333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5169677734375 × 212)
    floor (0.5169677734375 × 4096)
    floor (2117.5)     		tx = 2117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3392333984375 × 212)
    floor (0.3392333984375 × 4096)
    floor (1389.5)     		ty = 1389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2117 / 1389 ti = "12/2117/1389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2117/1389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2117 ÷ 212
    2117 ÷ 4096     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1389 ÷ 212
    1389 ÷ 4096     		y = 0.339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339111328125 × 2 - 1) × π
    0.32177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01089333918774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01089333918774))-π/2
    2×atan(2.74805486389403)-π/2
    2×1.22179801202988-π/2
    2.44359602405977-1.57079632675     		φ = 0.87279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.007739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2117 KachelY 1389 0.10584467 0.87279970 6.064453 50.007739
    Oben rechts KachelX + 1 2118 KachelY 1389 0.10737866 0.87279970 6.152344 50.007739
    Unten links KachelX 2117 KachelY + 1 1390 0.10584467 0.87181325 6.064453 49.951220
    Unten rechts KachelX + 1 2118 KachelY + 1 1390 0.10737866 0.87181325 6.152344 49.951220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87279970-0.87181325) × R
    0.000986449999999972 × 6371000     		dl = 6284.67294999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87279970-0.87181325) × R
    0.000986449999999972 × 6371000     		dr = 6284.67294999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(0.87279970) × R
    0.00153399 × 0.642684131133747 × 6371000     		do = 6280.98433415506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(0.87181325) × R
    0.00153399 × 0.643439568499962 × 6371000     		du = 6288.36726152602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87279970)-sin(0.87181325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642684131133747-0.643439568499962)×R²
    abs(0.10737866-0.10584467)×0.000755437366215084×R²
    0.00153399×0.000755437366215084×6371000²
    0.00153399×0.000755437366215084×40589641000000     		ar = 39497135.1890415m²