Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2161 / 1457
↖ ↑ ↗
← N 46.012224°
E  9.931641°		 ← 6 787.39 m → N 46.012224°
E 10.019531°		 →
↑
6 791.10 m
↓
↑
6 791.10 m
↓
N 45.951150°
E  9.931641°		 ← 6 794.88 m →
46 119 291 m²		 N 45.951150°
E 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5277099609375 y=0.3558349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5277099609375 × 212)
    floor (0.5277099609375 × 4096)
    floor (2161.5)     		tx = 2161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3558349609375 × 212)
    floor (0.3558349609375 × 4096)
    floor (1457.5)     		ty = 1457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2161 / 1457 ti = "12/2161/1457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2161/1457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2161 ÷ 212
    2161 ÷ 4096     		x = 0.527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1457 ÷ 212
    1457 ÷ 4096     		y = 0.355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.355712890625 × 2 - 1) × π
    0.28857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.906582645614502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17333983} λ = 0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.906582645614502))-π/2
    2×atan(2.47584721271561)-π/2
    2×1.18693056448028-π/2
    2.37386112896057-1.57079632675     		φ = 0.80306480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80306480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.012224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2161 KachelY 1457 0.17333983 0.80306480 9.931641 46.012224
    Oben rechts KachelX + 1 2162 KachelY 1457 0.17487381 0.80306480 10.019531 46.012224
    Unten links KachelX 2161 KachelY + 1 1458 0.17333983 0.80199886 9.931641 45.951150
    Unten rechts KachelX + 1 2162 KachelY + 1 1458 0.17487381 0.80199886 10.019531 45.951150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80306480-0.80199886) × R
    0.00106594000000004 × 6371000     		dl = 6791.10374000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80306480-0.80199886) × R
    0.00106594000000004 × 6371000     		dr = 6791.10374000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17333983-0.17487381) × cos(0.80306480) × R
    0.00153397999999999 × 0.694504887761444 × 6371000     		do = 6787.38694783696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17333983-0.17487381) × cos(0.80199886) × R
    0.00153397999999999 × 0.695271424081233 × 6371000     		du = 6794.87829700334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80306480)-sin(0.80199886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694504887761444-0.695271424081233)×R²
    abs(0.17487381-0.17333983)×0.000766536319788846×R²
    0.00153397999999999×0.000766536319788846×6371000²
    0.00153397999999999×0.000766536319788846×40589641000000     		ar = 46119290.5177932m²