Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2184 / 1928
↖ ↑ ↗
← N 10.487812°
E 11.953125°		 ← 9 609.72 m → N 10.487812°
E 12.041016°		 →
↑
9 611.04 m
↓
↑
9 611.04 m
↓
N 10.401378°
E 11.953125°		 ← 9 612.39 m →
92 372 182 m²		 N 10.401378°
E 12.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5333251953125 y=0.4708251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5333251953125 × 212)
    floor (0.5333251953125 × 4096)
    floor (2184.5)     		tx = 2184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4708251953125 × 212)
    floor (0.4708251953125 × 4096)
    floor (1928.5)     		ty = 1928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2184 / 1928 ti = "12/2184/1928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2184/1928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2184 ÷ 212
    2184 ÷ 4096     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1928 ÷ 212
    1928 ÷ 4096     		y = 0.470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470703125 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184077694541016))-π/2
    2×atan(1.20210921679201)-π/2
    2×0.876921587730698-π/2
    1.7538431754614-1.57079632675     		φ = 0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2184 KachelY 1928 0.20862139 0.18304685 11.953125 10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 2185 KachelY 1928 0.21015537 0.18304685 12.041016 10.487812
    Unten links KachelX 2184 KachelY + 1 1929 0.20862139 0.18153829 11.953125 10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 2185 KachelY + 1 1929 0.21015537 0.18153829 12.041016 10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18304685-0.18153829) × R
    0.00150856000000002 × 6371000     		dl = 9611.03576000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18304685-0.18153829) × R
    0.00150856000000002 × 6371000     		dr = 9611.03576000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.21015537) × cos(0.18304685) × R
    0.00153398000000002 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 9609.71565272743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.21015537) × cos(0.18153829) × R
    0.00153398000000002 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 9612.38835656615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18304685)-sin(0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.983567129442025)×R²
    abs(0.21015537-0.20862139)×0.000273478717773057×R²
    0.00153398000000002×0.000273478717773057×6371000²
    0.00153398000000002×0.000273478717773057×40589641000000     		ar = 92372182.0259055m²