Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 274 / 242
↖ ↑ ↗
← N  9.795678°
E 12.656250°		 ← 77.044 km → N  9.795678°
E 13.359375°		 →
↑
77.123 km
↓
↑
77.123 km
↓
N  9.102097°
E 12.656250°		 ← 77.199 km →
5 947.91 km²		 N  9.102097°
E 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5361328125 y=0.4736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5361328125 × 29)
    floor (0.5361328125 × 512)
    floor (274.5)     		tx = 274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4736328125 × 29)
    floor (0.4736328125 × 512)
    floor (242.5)     		ty = 242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 274 / 242 ti = "9/274/242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/274/242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 274 ÷ 29
    274 ÷ 512     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 242 ÷ 29
    242 ÷ 512     		y = 0.47265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47265625 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.171805848238281))-π/2
    2×atan(1.18744726585349)-π/2
    2×0.870881576537118-π/2
    1.74176315307424-1.57079632675     		φ = 0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 274 KachelY 242 0.22089323 0.17096683 12.656250 9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 275 KachelY 242 0.23316508 0.17096683 13.359375 9.795678
    Unten links KachelX 274 KachelY + 1 243 0.22089323 0.15886156 12.656250 9.102097
    Unten rechts KachelX + 1 275 KachelY + 1 243 0.23316508 0.15886156 13.359375 9.102097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17096683-0.15886156) × R
    0.01210527 × 6371000     		dl = 77122.6751699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17096683-0.15886156) × R
    0.01210527 × 6371000     		dr = 77122.6751699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.23316508) × cos(0.17096683) × R
    0.01227185 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 77044.0917880581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.23316508) × cos(0.15886156) × R
    0.01227185 × 0.987408017809851 × 6371000     		du = 77199.4653640854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17096683)-sin(0.15886156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.987408017809851)×R²
    abs(0.23316508-0.22089323)×0.00198728208805043×R²
    0.01227185×0.00198728208805043×6371000²
    0.01227185×0.00198728208805043×40589641000000     		ar = 5947910510.52442m²