Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31809 / 35905
↖ ↑ ↗
← S 16.977995°
W  5.267944°		 ← 584.17 m → S 16.977995°
W  5.262451°		 →
↑
584.16 m
↓
↑
584.16 m
↓
S 16.983248°
W  5.267944°		 ← 584.15 m →
341 241 m²		 S 16.983248°
W  5.262451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485374450683594 y=0.547874450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485374450683594 × 216)
    floor (0.485374450683594 × 65536)
    floor (31809.5)     		tx = 31809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547874450683594 × 216)
    floor (0.547874450683594 × 65536)
    floor (35905.5)     		ty = 35905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31809 / 35905 ti = "16/31809/35905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31809/35905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31809 ÷ 216
    31809 ÷ 65536     		x = 0.485366821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35905 ÷ 216
    35905 ÷ 65536     		y = 0.547866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485366821289062 × 2 - 1) × π
    -0.029266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09194297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547866821289062 × 2 - 1) × π
    -0.095733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.300756108216232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09194297} λ = -0.09194297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300756108216232))-π/2
    2×atan(0.740258293647717)-π/2
    2×0.637237208151712-π/2
    1.27447441630342-1.57079632675     		φ = -0.29632191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09194297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.267944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29632191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.977995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31809 KachelY 35905 -0.09194297 -0.29632191 -5.267944 -16.977995
    Oben rechts KachelX + 1 31810 KachelY 35905 -0.09184710 -0.29632191 -5.262451 -16.977995
    Unten links KachelX 31809 KachelY + 1 35906 -0.09194297 -0.29641360 -5.267944 -16.983248
    Unten rechts KachelX + 1 31810 KachelY + 1 35906 -0.09184710 -0.29641360 -5.262451 -16.983248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29632191--0.29641360) × R
    9.16899999999776e-05 × 6371000     		dl = 584.156989999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29632191--0.29641360) × R
    9.16899999999776e-05 × 6371000     		dr = 584.156989999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09194297--0.09184710) × cos(-0.29632191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956416974537731 × 6371000     		do = 584.167791068034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09194297--0.09184710) × cos(-0.29641360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.956390196633819 × 6371000     		du = 584.151435451819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29632191)-sin(-0.29641360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956416974537731-0.956390196633819)×R²
    abs(-0.09184710--0.09194297)×2.67779039119231e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67779039119231e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67779039119231e-05×40589641000000     		ar = 341240.921600482m²