Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33248 / 21088
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E  2.636719°		 ← 360.32 m → N 53.852527°
E  2.642212°		 →
↑
360.34 m
↓
↑
360.34 m
↓
N 53.849286°
E  2.636719°		 ← 360.35 m →
129 844 m²		 N 53.849286°
E  2.642212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507331848144531 y=0.321784973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507331848144531 × 216)
    floor (0.507331848144531 × 65536)
    floor (33248.5)     		tx = 33248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321784973144531 × 216)
    floor (0.321784973144531 × 65536)
    floor (21088.5)     		ty = 21088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33248 / 21088 ti = "16/33248/21088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33248/21088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33248 ÷ 216
    33248 ÷ 65536     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21088 ÷ 216
    21088 ÷ 65536     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33248 KachelY 21088 0.04601942 0.93990390 2.636719 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 33249 KachelY 21088 0.04611530 0.93990390 2.642212 53.852527
    Unten links KachelX 33248 KachelY + 1 21089 0.04601942 0.93984734 2.636719 53.849286
    Unten rechts KachelX + 1 33249 KachelY + 1 21089 0.04611530 0.93984734 2.642212 53.849286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93984734) × R
    5.65599999999833e-05 × 6371000     		dl = 360.343759999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93984734) × R
    5.65599999999833e-05 × 6371000     		dr = 360.343759999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04611530) × cos(0.93990390) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 360.320292256496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04611530) × cos(0.93984734) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.5899112999777 × 6371000     		du = 360.3481906601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93984734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.5899112999777)×R²
    abs(0.04611530-0.04601942)×4.56713366804307e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.56713366804307e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.56713366804307e-05×40589641000000     		ar = 129844.195458291m²