Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33312 / 33376
↖ ↑ ↗
← S  3.337954°
E  2.988281°		 ← 609.75 m → S  3.337954°
E  2.993774°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
S  3.343438°
E  2.988281°		 ← 609.75 m →
371 806 m²		 S  3.343438°
E  2.993774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508308410644531 y=0.509284973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508308410644531 × 216)
    floor (0.508308410644531 × 65536)
    floor (33312.5)     		tx = 33312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509284973144531 × 216)
    floor (0.509284973144531 × 65536)
    floor (33376.5)     		ty = 33376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33312 / 33376 ti = "16/33312/33376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33312/33376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33312 ÷ 216
    33312 ÷ 65536     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33376 ÷ 216
    33376 ÷ 65536     		y = 0.50927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0582912699379883))-π/2
    2×atan(0.94337513060001)-π/2
    2×0.756269019944927-π/2
    1.51253803988985-1.57079632675     		φ = -0.05825829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05825829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.337954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33312 KachelY 33376 0.05215535 -0.05825829 2.988281 -3.337954
    Oben rechts KachelX + 1 33313 KachelY 33376 0.05225122 -0.05825829 2.993774 -3.337954
    Unten links KachelX 33312 KachelY + 1 33377 0.05215535 -0.05835400 2.988281 -3.343438
    Unten rechts KachelX + 1 33313 KachelY + 1 33377 0.05225122 -0.05835400 2.993774 -3.343438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05825829--0.05835400) × R
    9.57100000000058e-05 × 6371000     		dl = 609.768410000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05825829--0.05835400) × R
    9.57100000000058e-05 × 6371000     		dr = 609.768410000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05225122) × cos(-0.05825829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998303465745026 × 6371000     		do = 609.751547625662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05225122) × cos(-0.05835400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998297888425259 × 6371000     		du = 609.748141066959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05825829)-sin(-0.05835400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998303465745026-0.998297888425259)×R²
    abs(0.05225122-0.05215535)×5.57731976658093e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.57731976658093e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.57731976658093e-06×40589641000000     		ar = 371806.193368652m²