Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33320 / 33320
↖ ↑ ↗
← S  3.030812°
E  3.032227°		 ← 609.93 m → S  3.030812°
E  3.037720°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
S  3.036298°
E  3.032227°		 ← 609.93 m →
372 034 m²		 S  3.036298°
E  3.037720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508430480957031 y=0.508430480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508430480957031 × 216)
    floor (0.508430480957031 × 65536)
    floor (33320.5)     		tx = 33320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508430480957031 × 216)
    floor (0.508430480957031 × 65536)
    floor (33320.5)     		ty = 33320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33320 / 33320 ti = "16/33320/33320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33320/33320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33320 ÷ 216
    33320 ÷ 65536     		x = 0.5084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33320 ÷ 216
    33320 ÷ 65536     		y = 0.5084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    0.016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05292234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    -0.016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.052922337180542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05292234} λ = 0.05292234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.052922337180542))-π/2
    2×atan(0.948453669208143)-π/2
    2×0.758949338123278-π/2
    1.51789867624656-1.57079632675     		φ = -0.05289765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05292234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05289765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.030812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33320 KachelY 33320 0.05292234 -0.05289765 3.032227 -3.030812
    Oben rechts KachelX + 1 33321 KachelY 33320 0.05301821 -0.05289765 3.037720 -3.030812
    Unten links KachelX 33320 KachelY + 1 33321 0.05292234 -0.05299339 3.032227 -3.036298
    Unten rechts KachelX + 1 33321 KachelY + 1 33321 0.05301821 -0.05299339 3.037720 -3.036298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05289765--0.05299339) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05289765--0.05299339) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05292234-0.05301821) × cos(-0.05289765) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998601245519606 × 6371000     		do = 609.933427870174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05292234-0.05301821) × cos(-0.05299339) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.998596178883454 × 6371000     		du = 609.930333230777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05289765)-sin(-0.05299339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998601245519606-0.998596178883454)×R²
    abs(0.05301821-0.05292234)×5.06663615229552e-06×R²
    9.58700000000048e-05×5.06663615229552e-06×6371000²
    9.58700000000048e-05×5.06663615229552e-06×40589641000000     		ar = 372033.769576103m²