Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33568 / 21280
↖ ↑ ↗
← N 53.225769°
E  4.394531°		 ← 365.66 m → N 53.225769°
E  4.400024°		 →
↑
365.70 m
↓
↑
365.70 m
↓
N 53.222480°
E  4.394531°		 ← 365.68 m →
133 724 m²		 N 53.222480°
E  4.400024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512214660644531 y=0.324714660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512214660644531 × 216)
    floor (0.512214660644531 × 65536)
    floor (33568.5)     		tx = 33568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324714660644531 × 216)
    floor (0.324714660644531 × 65536)
    floor (21280.5)     		ty = 21280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33568 / 21280 ti = "16/33568/21280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33568/21280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33568 ÷ 216
    33568 ÷ 65536     		x = 0.51220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21280 ÷ 216
    21280 ÷ 65536     		y = 0.32470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    0.3505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10139820567041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07669904} λ = 0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10139820567041))-π/2
    2×atan(3.00836940382597)-π/2
    2×1.24988061644233-π/2
    2.49976123288466-1.57079632675     		φ = 0.92896491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92896491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.225769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33568 KachelY 21280 0.07669904 0.92896491 4.394531 53.225769
    Oben rechts KachelX + 1 33569 KachelY 21280 0.07679491 0.92896491 4.400024 53.225769
    Unten links KachelX 33568 KachelY + 1 21281 0.07669904 0.92890751 4.394531 53.222480
    Unten rechts KachelX + 1 33569 KachelY + 1 21281 0.07679491 0.92890751 4.400024 53.222480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92896491-0.92890751) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dl = 365.695399999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92896491-0.92890751) × R
    5.73999999999852e-05 × 6371000     		dr = 365.695399999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07669904-0.07679491) × cos(0.92896491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598663410660725 × 6371000     		do = 365.65628957805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07669904-0.07679491) × cos(0.92890751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59870938711463 × 6371000     		du = 365.684371433803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92896491)-sin(0.92890751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598663410660725-0.59870938711463)×R²
    abs(0.07679491-0.07669904)×4.59764539048058e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59764539048058e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59764539048058e-05×40589641000000     		ar = 133723.957818883m²