Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33996 / 22092
↖ ↑ ↗
← N 50.471491°
E  6.745606°		 ← 388.74 m → N 50.471491°
E  6.751099°		 →
↑
388.76 m
↓
↑
388.76 m
↓
N 50.467994°
E  6.745606°		 ← 388.77 m →
151 133 m²		 N 50.467994°
E  6.751099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518745422363281 y=0.337104797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518745422363281 × 216)
    floor (0.518745422363281 × 65536)
    floor (33996.5)     		tx = 33996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337104797363281 × 216)
    floor (0.337104797363281 × 65536)
    floor (22092.5)     		ty = 22092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33996 / 22092 ti = "16/33996/22092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33996/22092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33996 ÷ 216
    33996 ÷ 65536     		x = 0.51873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22092 ÷ 216
    22092 ÷ 65536     		y = 0.33709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51873779296875 × 2 - 1) × π
    0.0374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11773303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33709716796875 × 2 - 1) × π
    0.3258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02354868068744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11773303} λ = 0.11773303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02354868068744))-π/2
    2×atan(2.78305342894674)-π/2
    2×1.2258450102617-π/2
    2.4516900205234-1.57079632675     		φ = 0.88089369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11773303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.745606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88089369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.471491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33996 KachelY 22092 0.11773303 0.88089369 6.745606 50.471491
    Oben rechts KachelX + 1 33997 KachelY 22092 0.11782890 0.88089369 6.751099 50.471491
    Unten links KachelX 33996 KachelY + 1 22093 0.11773303 0.88083267 6.745606 50.467994
    Unten rechts KachelX + 1 33997 KachelY + 1 22093 0.11782890 0.88083267 6.751099 50.467994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88089369-0.88083267) × R
    6.10199999999672e-05 × 6371000     		dl = 388.758419999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88089369-0.88083267) × R
    6.10199999999672e-05 × 6371000     		dr = 388.758419999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11773303-0.11782890) × cos(0.88089369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636462088221086 × 6371000     		do = 388.743259554092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11773303-0.11782890) × cos(0.88083267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		du = 388.772005687047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88089369)-sin(0.88083267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636462088221086-0.636509152249488)×R²
    abs(0.11782890-0.11773303)×4.70640284012669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70640284012669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70640284012669e-05×40589641000000     		ar = 151132.803067379m²