Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34352 / 23024
↖ ↑ ↗
← N 47.100045°
E  8.701172°		 ← 415.78 m → N 47.100045°
E  8.706665°		 →
↑
415.84 m
↓
↑
415.84 m
↓
N 47.096305°
E  8.701172°		 ← 415.80 m →
172 900 m²		 N 47.096305°
E  8.706665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524177551269531 y=0.351325988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524177551269531 × 216)
    floor (0.524177551269531 × 65536)
    floor (34352.5)     		tx = 34352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351325988769531 × 216)
    floor (0.351325988769531 × 65536)
    floor (23024.5)     		ty = 23024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34352 / 23024 ti = "16/34352/23024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34352/23024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34352 ÷ 216
    34352 ÷ 65536     		x = 0.524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23024 ÷ 216
    23024 ÷ 65536     		y = 0.351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351318359375 × 2 - 1) × π
    0.29736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.934194299795654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15186410} λ = 0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934194299795654))-π/2
    2×atan(2.545161993879)-π/2
    2×1.19642359226197-π/2
    2.39284718452395-1.57079632675     		φ = 0.82205086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82205086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.100045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34352 KachelY 23024 0.15186410 0.82205086 8.701172 47.100045
    Oben rechts KachelX + 1 34353 KachelY 23024 0.15195997 0.82205086 8.706665 47.100045
    Unten links KachelX 34352 KachelY + 1 23025 0.15186410 0.82198559 8.701172 47.096305
    Unten rechts KachelX + 1 34353 KachelY + 1 23025 0.15195997 0.82198559 8.706665 47.096305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82205086-0.82198559) × R
    6.52700000000062e-05 × 6371000     		dl = 415.835170000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82205086-0.82198559) × R
    6.52700000000062e-05 × 6371000     		dr = 415.835170000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15186410-0.15195997) × cos(0.82205086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680720295882583 × 6371000     		do = 415.775631515854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15186410-0.15195997) × cos(0.82198559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680768107542318 × 6371000     		du = 415.804834292884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82205086)-sin(0.82198559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680720295882583-0.680768107542318)×R²
    abs(0.15195997-0.15186410)×4.78116597353306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78116597353306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78116597353306e-05×40589641000000     		ar = 172900.20224565m²