Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34832 / 30736
↖ ↑ ↗
← N 11.092166°
E 11.337891°		 ← 599.44 m → N 11.092166°
E 11.343384°		 →
↑
599.45 m
↓
↑
599.45 m
↓
N 11.086775°
E 11.337891°		 ← 599.45 m →
359 336 m²		 N 11.086775°
E 11.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531501770019531 y=0.469001770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531501770019531 × 216)
    floor (0.531501770019531 × 65536)
    floor (34832.5)     		tx = 34832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469001770019531 × 216)
    floor (0.469001770019531 × 65536)
    floor (30736.5)     		ty = 30736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34832 / 30736 ti = "16/34832/30736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34832/30736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34832 ÷ 216
    34832 ÷ 65536     		x = 0.531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30736 ÷ 216
    30736 ÷ 65536     		y = 0.468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    0.06201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.194815560055908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19788352} λ = 0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194815560055908))-π/2
    2×atan(1.21508685526934)-π/2
    2×0.882195571404231-π/2
    1.76439114280846-1.57079632675     		φ = 0.19359482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19359482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.092166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34832 KachelY 30736 0.19788352 0.19359482 11.337891 11.092166
    Oben rechts KachelX + 1 34833 KachelY 30736 0.19797940 0.19359482 11.343384 11.092166
    Unten links KachelX 34832 KachelY + 1 30737 0.19788352 0.19350073 11.337891 11.086775
    Unten rechts KachelX + 1 34833 KachelY + 1 30737 0.19797940 0.19350073 11.343384 11.086775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19359482-0.19350073) × R
    9.40899999999911e-05 × 6371000     		dl = 599.447389999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19359482-0.19350073) × R
    9.40899999999911e-05 × 6371000     		dr = 599.447389999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19788352-0.19797940) × cos(0.19359482) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981318977765296 × 6371000     		do = 599.440149919972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19788352-0.19797940) × cos(0.19350073) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98133707518918 × 6371000     		du = 599.451204758136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19359482)-sin(0.19350073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981318977765296-0.98133707518918)×R²
    abs(0.19797940-0.19788352)×1.80974238835896e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.80974238835896e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.80974238835896e-05×40589641000000     		ar = 359336.146992772m²