Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34880 / 35008
↖ ↑ ↗
← S 12.211180°
E 11.601562°		 ← 597.03 m → S 12.211180°
E 11.607056°		 →
↑
596.96 m
↓
↑
596.96 m
↓
S 12.216549°
E 11.601562°		 ← 597.02 m →
356 401 m²		 S 12.216549°
E 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532234191894531 y=0.534187316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532234191894531 × 216)
    floor (0.532234191894531 × 65536)
    floor (34880.5)     		tx = 34880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534187316894531 × 216)
    floor (0.534187316894531 × 65536)
    floor (35008.5)     		ty = 35008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34880 / 35008 ti = "16/34880/35008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34880/35008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34880 ÷ 216
    34880 ÷ 65536     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35008 ÷ 216
    35008 ÷ 65536     		y = 0.5341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5341796875 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.214757310297852))-π/2
    2×atan(0.806737203233092)-π/2
    2×0.67883551345242-π/2
    1.35767102690484-1.57079632675     		φ = -0.21312530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21312530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.211180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34880 KachelY 35008 0.20248546 -0.21312530 11.601562 -12.211180
    Oben rechts KachelX + 1 34881 KachelY 35008 0.20258134 -0.21312530 11.607056 -12.211180
    Unten links KachelX 34880 KachelY + 1 35009 0.20248546 -0.21321900 11.601562 -12.216549
    Unten rechts KachelX + 1 34881 KachelY + 1 35009 0.20258134 -0.21321900 11.607056 -12.216549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21312530--0.21321900) × R
    9.37000000000021e-05 × 6371000     		dl = 596.962700000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21312530--0.21321900) × R
    9.37000000000021e-05 × 6371000     		dr = 596.962700000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(-0.21312530) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97737463960511 × 6371000     		do = 597.030745117202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(-0.21321900) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97735481631069 × 6371000     		du = 597.018636028467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21312530)-sin(-0.21321900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97737463960511-0.97735481631069)×R²
    abs(0.20258134-0.20248546)×1.98232944205179e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.98232944205179e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.98232944205179e-05×40589641000000     		ar = 356401.471511849m²