Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34944 / 34688
↖ ↑ ↗
← S 10.487812°
E 11.953125°		 ← 600.58 m → S 10.487812°
E 11.958618°		 →
↑
600.59 m
↓
↑
600.59 m
↓
S 10.493213°
E 11.953125°		 ← 600.57 m →
360 704 m²		 S 10.493213°
E 11.958618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533210754394531 y=0.529304504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533210754394531 × 216)
    floor (0.533210754394531 × 65536)
    floor (34944.5)     		tx = 34944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529304504394531 × 216)
    floor (0.529304504394531 × 65536)
    floor (34688.5)     		ty = 34688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34944 / 34688 ti = "16/34944/34688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34944/34688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34944 ÷ 216
    34944 ÷ 65536     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34688 ÷ 216
    34688 ÷ 65536     		y = 0.529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529296875 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184077694541016))-π/2
    2×atan(0.83187116946714)-π/2
    2×0.693874739064199-π/2
    1.3877494781284-1.57079632675     		φ = -0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34944 KachelY 34688 0.20862139 -0.18304685 11.953125 -10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 34945 KachelY 34688 0.20871726 -0.18304685 11.958618 -10.487812
    Unten links KachelX 34944 KachelY + 1 34689 0.20862139 -0.18314112 11.953125 -10.493213
    Unten rechts KachelX + 1 34945 KachelY + 1 34689 0.20871726 -0.18314112 11.958618 -10.493213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18304685--0.18314112) × R
    9.42699999999796e-05 × 6371000     		dl = 600.59416999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18304685--0.18314112) × R
    9.42699999999796e-05 × 6371000     		dr = 600.59416999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20871726) × cos(-0.18304685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 600.583736181012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20871726) × cos(-0.18314112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.983276486729953 × 6371000     		du = 600.573252623209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18304685)-sin(-0.18314112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.983276486729953)×R²
    abs(0.20871726-0.20862139)×1.71639942988522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71639942988522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71639942988522e-05×40589641000000     		ar = 360703.942632352m²