Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4145 / 4145
↖ ↑ ↗
← S  2.152814°
E  2.153320°		 ← 4 883.04 m → S  2.152814°
E  2.197266°		 →
↑
4 882.93 m
↓
↑
4 882.93 m
↓
S  2.196727°
E  2.153320°		 ← 4 882.90 m →
23 843 196 m²		 S  2.196727°
E  2.197266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50604248046875 y=0.50604248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50604248046875 × 213)
    floor (0.50604248046875 × 8192)
    floor (4145.5)     		tx = 4145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50604248046875 × 213)
    floor (0.50604248046875 × 8192)
    floor (4145.5)     		ty = 4145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4145 / 4145 ti = "13/4145/4145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4145/4145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4145 ÷ 213
    4145 ÷ 8192     		x = 0.5059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4145 ÷ 213
    4145 ÷ 8192     		y = 0.5059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    0.011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03758253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.037582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03758253} λ = 0.03758253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.037582529302124))-π/2
    2×atan(0.963114929237827)-π/2
    2×0.766611320794358-π/2
    1.53322264158872-1.57079632675     		φ = -0.03757369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03758253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.153320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03757369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.152814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4145 KachelY 4145 0.03758253 -0.03757369 2.153320 -2.152814
    Oben rechts KachelX + 1 4146 KachelY 4145 0.03834952 -0.03757369 2.197266 -2.152814
    Unten links KachelX 4145 KachelY + 1 4146 0.03758253 -0.03834012 2.153320 -2.196727
    Unten rechts KachelX + 1 4146 KachelY + 1 4146 0.03834952 -0.03834012 2.197266 -2.196727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03757369--0.03834012) × R
    0.000766429999999999 × 6371000     		dl = 4882.92552999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03757369--0.03834012) × R
    0.000766429999999999 × 6371000     		dr = 4882.92552999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03758253-0.03834952) × cos(-0.03757369) × R
    0.000766989999999995 × 0.999294191953022 × 6371000     		do = 4883.04436371439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03758253-0.03834952) × cos(-0.03834012) × R
    0.000766989999999995 × 0.99926510762797 × 6371000     		du = 4882.90224335517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03757369)-sin(-0.03834012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999294191953022-0.99926510762797)×R²
    abs(0.03834952-0.03758253)×2.9084325052775e-05×R²
    0.000766989999999995×2.9084325052775e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.9084325052775e-05×40589641000000     		ar = 23843196.1732926m²