Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4156 / 2636
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E  2.636719°		 ← 2 882.37 m → N 53.852527°
E  2.680664°		 →
↑
2 883.26 m
↓
↑
2 883.26 m
↓
N 53.826597°
E  2.636719°		 ← 2 884.16 m →
8 313 208 m²		 N 53.826597°
E  2.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50738525390625 y=0.32183837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50738525390625 × 213)
    floor (0.50738525390625 × 8192)
    floor (4156.5)     		tx = 4156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32183837890625 × 213)
    floor (0.32183837890625 × 8192)
    floor (2636.5)     		ty = 2636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4156 / 2636 ti = "13/4156/2636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4156/2636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4156 ÷ 213
    4156 ÷ 8192     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2636 ÷ 213
    2636 ÷ 8192     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4156 KachelY 2636 0.04601942 0.93990390 2.636719 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 4157 KachelY 2636 0.04678641 0.93990390 2.680664 53.852527
    Unten links KachelX 4156 KachelY + 1 2637 0.04601942 0.93945134 2.636719 53.826597
    Unten rechts KachelX + 1 4157 KachelY + 1 2637 0.04678641 0.93945134 2.680664 53.826597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93945134) × R
    0.000452560000000046 × 6371000     		dl = 2883.25976000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93945134) × R
    0.000452560000000046 × 6371000     		dr = 2883.25976000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04678641) × cos(0.93990390) × R
    0.000766990000000002 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 2882.37443635598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04678641) × cos(0.93945134) × R
    0.000766990000000002 × 0.590231011064945 × 6371000     		du = 2884.15987511878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93945134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.590231011064945)×R²
    abs(0.04678641-0.04601942)×0.000365382423925031×R²
    0.000766990000000002×0.000365382423925031×6371000²
    0.000766990000000002×0.000365382423925031×40589641000000     		ar = 8313208.30935391m²