Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4308 / 2644
↖ ↑ ↗
← N 53.644638°
E  9.316406°		 ← 2 896.67 m → N 53.644638°
E  9.360351°		 →
↑
2 897.59 m
↓
↑
2 897.59 m
↓
N 53.618579°
E  9.316406°		 ← 2 898.46 m →
8 395 975 m²		 N 53.618579°
E  9.360351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52593994140625 y=0.32281494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52593994140625 × 213)
    floor (0.52593994140625 × 8192)
    floor (4308.5)     		tx = 4308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32281494140625 × 213)
    floor (0.32281494140625 × 8192)
    floor (2644.5)     		ty = 2644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4308 / 2644 ti = "13/4308/2644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4308/2644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4308 ÷ 213
    4308 ÷ 8192     		x = 0.52587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2644 ÷ 213
    2644 ÷ 8192     		y = 0.32275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52587890625 × 2 - 1) × π
    0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32275390625 × 2 - 1) × π
    0.3544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11367005197314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16260196} λ = 0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11367005197314))-π/2
    2×atan(3.04551510778458)-π/2
    2×1.25353594142983-π/2
    2.50707188285966-1.57079632675     		φ = 0.93627556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93627556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.644638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4308 KachelY 2644 0.16260196 0.93627556 9.316406 53.644638
    Oben rechts KachelX + 1 4309 KachelY 2644 0.16336895 0.93627556 9.360351 53.644638
    Unten links KachelX 4308 KachelY + 1 2645 0.16260196 0.93582075 9.316406 53.618579
    Unten rechts KachelX + 1 4309 KachelY + 1 2645 0.16336895 0.93582075 9.360351 53.618579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93627556-0.93582075) × R
    0.000454810000000028 × 6371000     		dl = 2897.59451000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93627556-0.93582075) × R
    0.000454810000000028 × 6371000     		dr = 2897.59451000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16260196-0.16336895) × cos(0.93627556) × R
    0.000766990000000023 × 0.592791629165245 × 6371000     		do = 2896.67231828423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16260196-0.16336895) × cos(0.93582075) × R
    0.000766990000000023 × 0.593157851747736 × 6371000     		du = 2898.46186247621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93627556)-sin(0.93582075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592791629165245-0.593157851747736)×R²
    abs(0.16336895-0.16260196)×0.000366222582490749×R²
    0.000766990000000023×0.000366222582490749×6371000²
    0.000766990000000023×0.000366222582490749×40589641000000     		ar = 8395974.6381696m²