Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4357 / 4355
↖ ↑ ↗
← S 11.307708°
E 11.469726°		 ← 4 791.64 m → S 11.307708°
E 11.513672°		 →
↑
4 791.31 m
↓
↑
4 791.31 m
↓
S 11.350797°
E 11.469726°		 ← 4 790.92 m →
22 956 498 m²		 S 11.350797°
E 11.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53192138671875 y=0.53167724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53192138671875 × 213)
    floor (0.53192138671875 × 8192)
    floor (4357.5)     		tx = 4357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53167724609375 × 213)
    floor (0.53167724609375 × 8192)
    floor (4355.5)     		ty = 4355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4357 / 4355 ti = "13/4357/4355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4357/4355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4357 ÷ 213
    4357 ÷ 8192     		x = 0.5318603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4355 ÷ 213
    4355 ÷ 8192     		y = 0.5316162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5318603515625 × 2 - 1) × π
    0.063720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20018449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5316162109375 × 2 - 1) × π
    -0.063232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.198650512025513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20018449} λ = 0.20018449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198650512025513))-π/2
    2×atan(0.819836366221637)-π/2
    2×0.686719798223408-π/2
    1.37343959644682-1.57079632675     		φ = -0.19735673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20018449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19735673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.307708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4357 KachelY 4355 0.20018449 -0.19735673 11.469726 -11.307708
    Oben rechts KachelX + 1 4358 KachelY 4355 0.20095148 -0.19735673 11.513672 -11.307708
    Unten links KachelX 4357 KachelY + 1 4356 0.20018449 -0.19810878 11.469726 -11.350797
    Unten rechts KachelX + 1 4358 KachelY + 1 4356 0.20095148 -0.19810878 11.513672 -11.350797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19735673--0.19810878) × R
    0.000752050000000004 × 6371000     		dl = 4791.31055000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19735673--0.19810878) × R
    0.000752050000000004 × 6371000     		dr = 4791.31055000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20018449-0.20095148) × cos(-0.19735673) × R
    0.000766989999999995 × 0.980588290111766 × 6371000     		do = 4791.63809988369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20018449-0.20095148) × cos(-0.19810878) × R
    0.000766989999999995 × 0.980440552321094 × 6371000     		du = 4790.91618016089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19735673)-sin(-0.19810878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980588290111766-0.980440552321094)×R²
    abs(0.20095148-0.20018449)×0.000147737790672231×R²
    0.000766989999999995×0.000147737790672231×6371000²
    0.000766989999999995×0.000147737790672231×40589641000000     		ar = 22956497.7909386m²