Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49186 / 16418
↖ ↑ ↗
← N 66.438715°
E 90.186768°		 ← 244.15 m → N 66.438715°
E 90.192261°		 →
↑
244.14 m
↓
↑
244.14 m
↓
N 66.436520°
E 90.186768°		 ← 244.17 m →
59 609 m²		 N 66.436520°
E 90.192261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750526428222656 y=0.250526428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750526428222656 × 216)
    floor (0.750526428222656 × 65536)
    floor (49186.5)     		tx = 49186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250526428222656 × 216)
    floor (0.250526428222656 × 65536)
    floor (16418.5)     		ty = 16418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49186 / 16418 ti = "16/49186/16418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49186/16418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49186 ÷ 216
    49186 ÷ 65536     		x = 0.750518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16418 ÷ 216
    16418 ÷ 65536     		y = 0.250518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750518798828125 × 2 - 1) × π
    0.50103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57405604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250518798828125 × 2 - 1) × π
    0.49896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56753661757584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57405604} λ = 1.57405604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56753661757584))-π/2
    2×atan(4.79482215310614)-π/2
    2×1.36518533005723-π/2
    2.73037066011447-1.57079632675     		φ = 1.15957433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57405604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.186768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15957433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.438715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49186 KachelY 16418 1.57405604 1.15957433 90.186768 66.438715
    Oben rechts KachelX + 1 49187 KachelY 16418 1.57415191 1.15957433 90.192261 66.438715
    Unten links KachelX 49186 KachelY + 1 16419 1.57405604 1.15953601 90.186768 66.436520
    Unten rechts KachelX + 1 49187 KachelY + 1 16419 1.57415191 1.15953601 90.192261 66.436520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15957433-1.15953601) × R
    3.83200000000361e-05 × 6371000     		dl = 244.13672000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15957433-1.15953601) × R
    3.83200000000361e-05 × 6371000     		dr = 244.13672000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57405604-1.57415191) × cos(1.15957433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399729748794646 × 6371000     		do = 244.150041868937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57405604-1.57415191) × cos(1.15953601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399764873879201 × 6371000     		du = 244.171495841003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15957433)-sin(1.15953601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399729748794646-0.399764873879201)×R²
    abs(1.57415191-1.57405604)×3.51250845544437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51250845544437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51250845544437e-05×40589641000000     		ar = 59608.6092682958m²