Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 536 / 326
↖ ↑ ↗
← N 54.572062°
E  8.437500°		 ← 22.661 km → N 54.572062°
E  8.789063°		 →
↑
22.718 km
↓
↑
22.718 km
↓
N 54.367758°
E  8.437500°		 ← 22.774 km →
516.085 km²		 N 54.367758°
E  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52392578125 y=0.31884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52392578125 × 210)
    floor (0.52392578125 × 1024)
    floor (536.5)     		tx = 536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31884765625 × 210)
    floor (0.31884765625 × 1024)
    floor (326.5)     		ty = 326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 536 / 326 ti = "10/536/326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/536/326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 536 ÷ 210
    536 ÷ 1024     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 326 ÷ 210
    326 ÷ 1024     		y = 0.318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318359375 × 2 - 1) × π
    0.36328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1412817061543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1412817061543))-π/2
    2×atan(3.13077853282216)-π/2
    2×1.26162924113429-π/2
    2.52325848226858-1.57079632675     		φ = 0.95246216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95246216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.572062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 536 KachelY 326 0.14726216 0.95246216 8.437500 54.572062
    Oben rechts KachelX + 1 537 KachelY 326 0.15339808 0.95246216 8.789063 54.572062
    Unten links KachelX 536 KachelY + 1 327 0.14726216 0.94889639 8.437500 54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 537 KachelY + 1 327 0.15339808 0.94889639 8.789063 54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95246216-0.94889639) × R
    0.00356576999999991 × 6371000     		dl = 22717.5206699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95246216-0.94889639) × R
    0.00356576999999991 × 6371000     		dr = 22717.5206699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15339808) × cos(0.95246216) × R
    0.00613591999999999 × 0.579678569220153 × 6371000     		do = 22660.7635108086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15339808) × cos(0.94889639) × R
    0.00613591999999999 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 22774.2028393732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95246216)-sin(0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579678569220153-0.582580428535012)×R²
    abs(0.15339808-0.14726216)×0.0029018593148592×R²
    0.00613591999999999×0.0029018593148592×6371000²
    0.00613591999999999×0.0029018593148592×40589641000000     		ar = 516085440.423907m²