Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 546 / 482
↖ ↑ ↗
← N 10.487812°
E 11.953125°		 ← 38.439 km → N 10.487812°
E 12.304687°		 →
↑
38.460 km
↓
↑
38.460 km
↓
N 10.141932°
E 11.953125°		 ← 38.481 km →
1 479.18 km²		 N 10.141932°
E 12.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53369140625 y=0.47119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53369140625 × 210)
    floor (0.53369140625 × 1024)
    floor (546.5)     		tx = 546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47119140625 × 210)
    floor (0.47119140625 × 1024)
    floor (482.5)     		ty = 482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 546 / 482 ti = "10/546/482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/546/482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 546 ÷ 210
    546 ÷ 1024     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 482 ÷ 210
    482 ÷ 1024     		y = 0.470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470703125 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184077694541016))-π/2
    2×atan(1.20210921679201)-π/2
    2×0.876921587730698-π/2
    1.7538431754614-1.57079632675     		φ = 0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 546 KachelY 482 0.20862139 0.18304685 11.953125 10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 547 KachelY 482 0.21475731 0.18304685 12.304687 10.487812
    Unten links KachelX 546 KachelY + 1 483 0.20862139 0.17701010 11.953125 10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 547 KachelY + 1 483 0.21475731 0.17701010 12.304687 10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18304685-0.17701010) × R
    0.00603675000000001 × 6371000     		dl = 38460.13425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18304685-0.17701010) × R
    0.00603675000000001 × 6371000     		dr = 38460.13425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.21475731) × cos(0.18304685) × R
    0.00613592000000002 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 38438.8626109094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.21475731) × cos(0.17701010) × R
    0.00613592000000002 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 38481.1180438569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18304685)-sin(0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.984374574979126)×R²
    abs(0.21475731-0.20862139)×0.00108092425487361×R²
    0.00613592000000002×0.00108092425487361×6371000²
    0.00613592000000002×0.00108092425487361×40589641000000     		ar = 1479180883.31661m²