Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 63618 / 71810
↖ ↑ ↗
← S 16.977995°
W  5.267944°		 ← 292.05 m → S 16.977995°
W  5.265198°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
S 16.980622°
W  5.267944°		 ← 292.05 m →
85 311 m²		 S 16.980622°
W  5.265198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 63618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485370635986328 y=0.547870635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485370635986328 × 217)
    floor (0.485370635986328 × 131072)
    floor (63618.5)     		tx = 63618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547870635986328 × 217)
    floor (0.547870635986328 × 131072)
    floor (71810.5)     		ty = 71810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 63618 / 71810 ti = "17/63618/71810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/63618/71810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 63618 ÷ 217
    63618 ÷ 131072     		x = 0.485366821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71810 ÷ 217
    71810 ÷ 131072     		y = 0.547866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485366821289062 × 2 - 1) × π
    -0.029266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09194297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547866821289062 × 2 - 1) × π
    -0.095733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.300756108216232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09194297} λ = -0.09194297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.300756108216232))-π/2
    2×atan(0.740258293647717)-π/2
    2×0.637237208151712-π/2
    1.27447441630342-1.57079632675     		φ = -0.29632191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09194297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.267944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29632191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.977995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 63618 KachelY 71810 -0.09194297 -0.29632191 -5.267944 -16.977995
    Oben rechts KachelX + 1 63619 KachelY 71810 -0.09189504 -0.29632191 -5.265198 -16.977995
    Unten links KachelX 63618 KachelY + 1 71811 -0.09194297 -0.29636776 -5.267944 -16.980622
    Unten rechts KachelX + 1 63619 KachelY + 1 71811 -0.09189504 -0.29636776 -5.265198 -16.980622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29632191--0.29636776) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dl = 292.110349999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29632191--0.29636776) × R
    4.58499999999584e-05 × 6371000     		dr = 292.110349999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09194297--0.09189504) × cos(-0.29632191) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.956416974537731 × 6371000     		do = 292.053428871309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09194297--0.09189504) × cos(-0.29636776) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.956403585130601 × 6371000     		du = 292.049340254768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29632191)-sin(-0.29636776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956416974537731-0.956403585130601)×R²
    abs(-0.09189504--0.09194297)×1.33894071299157e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.33894071299157e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.33894071299157e-05×40589641000000     		ar = 85311.2321775997m²