Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65506 / 65506
↖ ↑ ↗
← N  0.082398°
W  0.082398°		 ← 305.43 m → N  0.082398°
W  0.079651°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.079651°
W  0.082398°		 ← 305.43 m →
93 285 m²		 N  0.079651°
W  0.079651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499774932861328 y=0.499774932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499774932861328 × 217)
    floor (0.499774932861328 × 131072)
    floor (65506.5)     		tx = 65506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499774932861328 × 217)
    floor (0.499774932861328 × 131072)
    floor (65506.5)     		ty = 65506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65506 / 65506 ti = "17/65506/65506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65506/65506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65506 ÷ 217
    65506 ÷ 131072     		x = 0.499771118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65506 ÷ 217
    65506 ÷ 131072     		y = 0.499771118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499771118164062 × 2 - 1) × π
    -0.000457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00143811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499771118164062 × 2 - 1) × π
    0.000457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00143810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00143811} λ = -0.00143811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00143810698860168))-π/2
    2×atan(1.00143914156034)-π/2
    2×0.786117216643897-π/2
    1.57223443328779-1.57079632675     		φ = 0.00143811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00143811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.082398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00143811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.082398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65506 KachelY 65506 -0.00143811 0.00143811 -0.082398 0.082398
    Oben rechts KachelX + 1 65507 KachelY 65506 -0.00139017 0.00143811 -0.079651 0.082398
    Unten links KachelX 65506 KachelY + 1 65507 -0.00143811 0.00139017 -0.082398 0.079651
    Unten rechts KachelX + 1 65507 KachelY + 1 65507 -0.00139017 0.00139017 -0.079651 0.079651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00143811-0.00139017) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dl = 305.42574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00143811-0.00139017) × R
    4.794e-05 × 6371000     		dr = 305.42574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00143811--0.00139017) × cos(0.00143811) × R
    4.794e-05 × 0.999998965919992 × 6371000     		do = 305.425424165348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00143811--0.00139017) × cos(0.00139017) × R
    4.794e-05 × 0.999999033713841 × 6371000     		du = 305.425444871335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00143811)-sin(0.00139017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999998965919992-0.999999033713841)×R²
    abs(-0.00139017--0.00143811)×6.77938489790364e-08×R²
    4.794e-05×6.77938489790364e-08×6371000²
    4.794e-05×6.77938489790364e-08×40589641000000     		ar = 93284.7893704522m²