Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66496 / 42176
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E  2.636719°		 ← 180.16 m → N 53.852527°
E  2.639465°		 →
↑
180.17 m
↓
↑
180.17 m
↓
N 53.850906°
E  2.636719°		 ← 180.17 m →
32 460 m²		 N 53.850906°
E  2.639465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507328033447266 y=0.321781158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507328033447266 × 217)
    floor (0.507328033447266 × 131072)
    floor (66496.5)     		tx = 66496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321781158447266 × 217)
    floor (0.321781158447266 × 131072)
    floor (42176.5)     		ty = 42176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66496 / 42176 ti = "17/66496/42176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66496/42176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66496 ÷ 217
    66496 ÷ 131072     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42176 ÷ 217
    42176 ÷ 131072     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66496 KachelY 42176 0.04601942 0.93990390 2.636719 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 66497 KachelY 42176 0.04606736 0.93990390 2.639465 53.852527
    Unten links KachelX 66496 KachelY + 1 42177 0.04601942 0.93987562 2.636719 53.850906
    Unten rechts KachelX + 1 66497 KachelY + 1 42177 0.04606736 0.93987562 2.639465 53.850906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93987562) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dl = 180.171879999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93987562) × R
    2.82799999999916e-05 × 6371000     		dr = 180.171879999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04606736) × cos(0.93990390) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 180.160146128261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04606736) × cos(0.93987562) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.589888464545244 × 6371000     		du = 180.167120801207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93987562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.589888464545244)×R²
    abs(0.04606736-0.04601942)×2.28359042243609e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.28359042243609e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.28359042243609e-05×40589641000000     		ar = 32460.4205510462m²