Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66564 / 41988
↖ ↑ ↗
← N 54.156001°
E  2.823486°		 ← 178.85 m → N 54.156001°
E  2.826233°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
N 54.154393°
E  2.823486°		 ← 178.86 m →
31 985 m²		 N 54.154393°
E  2.826233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507846832275391 y=0.320346832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507846832275391 × 217)
    floor (0.507846832275391 × 131072)
    floor (66564.5)     		tx = 66564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320346832275391 × 217)
    floor (0.320346832275391 × 131072)
    floor (41988.5)     		ty = 41988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66564 / 41988 ti = "17/66564/41988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66564/41988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66564 ÷ 217
    66564 ÷ 131072     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41988 ÷ 217
    41988 ÷ 131072     		y = 0.320343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320343017578125 × 2 - 1) × π
    0.35931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12881811225308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12881811225308))-π/2
    2×atan(3.09199994288429)-π/2
    2×1.25799842775756-π/2
    2.51599685551511-1.57079632675     		φ = 0.94520053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94520053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.156001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66564 KachelY 41988 0.04927913 0.94520053 2.823486 54.156001
    Oben rechts KachelX + 1 66565 KachelY 41988 0.04932707 0.94520053 2.826233 54.156001
    Unten links KachelX 66564 KachelY + 1 41989 0.04927913 0.94517246 2.823486 54.154393
    Unten rechts KachelX + 1 66565 KachelY + 1 41989 0.04932707 0.94517246 2.826233 54.154393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94520053-0.94517246) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dl = 178.833970000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94520053-0.94517246) × R
    2.80700000000467e-05 × 6371000     		dr = 178.833970000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(0.94520053) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.585580338292153 × 6371000     		do = 178.851308152343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04932707) × cos(0.94517246) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.585603092007002 × 6371000     		du = 178.858257722539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94520053)-sin(0.94517246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585580338292153-0.585603092007002)×R²
    abs(0.04932707-0.04927913)×2.27537148490553e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.27537148490553e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.27537148490553e-05×40589641000000     		ar = 31985.3108883518m²