Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67680 / 71648
↖ ↑ ↗
← S 16.551962°
E  5.888672°		 ← 292.77 m → S 16.551962°
E  5.891418°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 16.554594°
E  5.888672°		 ← 292.77 m →
85 707 m²		 S 16.554594°
E  5.891418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516361236572266 y=0.546634674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516361236572266 × 217)
    floor (0.516361236572266 × 131072)
    floor (67680.5)     		tx = 67680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546634674072266 × 217)
    floor (0.546634674072266 × 131072)
    floor (71648.5)     		ty = 71648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67680 / 71648 ti = "17/67680/71648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67680/71648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67680 ÷ 217
    67680 ÷ 131072     		x = 0.516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71648 ÷ 217
    71648 ÷ 131072     		y = 0.546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516357421875 × 2 - 1) × π
    0.03271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10277671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.292990330477783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10277671} λ = 0.10277671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292990330477783))-π/2
    2×atan(0.746029354409762)-π/2
    2×0.640955048545217-π/2
    1.28191009709043-1.57079632675     		φ = -0.28888623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10277671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28888623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.551962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67680 KachelY 71648 0.10277671 -0.28888623 5.888672 -16.551962
    Oben rechts KachelX + 1 67681 KachelY 71648 0.10282465 -0.28888623 5.891418 -16.551962
    Unten links KachelX 67680 KachelY + 1 71649 0.10277671 -0.28893218 5.888672 -16.554594
    Unten rechts KachelX + 1 67681 KachelY + 1 71649 0.10282465 -0.28893218 5.891418 -16.554594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28888623--0.28893218) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dl = 292.747449999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28888623--0.28893218) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dr = 292.747449999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10277671-0.10282465) × cos(-0.28888623) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958561766113755 × 6371000     		do = 292.769436751063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10277671-0.10282465) × cos(-0.28893218) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958548674645949 × 6371000     		du = 292.76543827982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28888623)-sin(-0.28893218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958561766113755-0.958548674645949)×R²
    abs(0.10282465-0.10277671)×1.30914678064808e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.30914678064808e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.30914678064808e-05×40589641000000     		ar = 85706.9207907356m²