Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67716 / 44156
↖ ↑ ↗
← N 50.520412°
E  5.987549°		 ← 194.19 m → N 50.520412°
E  5.990296°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
N 50.518666°
E  5.987549°		 ← 194.20 m →
37 710 m²		 N 50.518666°
E  5.990296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516635894775391 y=0.336887359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516635894775391 × 217)
    floor (0.516635894775391 × 131072)
    floor (67716.5)     		tx = 67716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336887359619141 × 217)
    floor (0.336887359619141 × 131072)
    floor (44156.5)     		ty = 44156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67716 / 44156 ti = "17/67716/44156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67716/44156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67716 ÷ 217
    67716 ÷ 131072     		x = 0.516632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44156 ÷ 217
    44156 ÷ 131072     		y = 0.336883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516632080078125 × 2 - 1) × π
    0.03326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10450244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336883544921875 × 2 - 1) × π
    0.32623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0248909138768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10450244} λ = 0.10450244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0248909138768))-π/2
    2×atan(2.78679144370938)-π/2
    2×1.22627192944959-π/2
    2.45254385889919-1.57079632675     		φ = 0.88174753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10450244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88174753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.520412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67716 KachelY 44156 0.10450244 0.88174753 5.987549 50.520412
    Oben rechts KachelX + 1 67717 KachelY 44156 0.10455038 0.88174753 5.990296 50.520412
    Unten links KachelX 67716 KachelY + 1 44157 0.10450244 0.88171705 5.987549 50.518666
    Unten rechts KachelX + 1 67717 KachelY + 1 44157 0.10455038 0.88171705 5.990296 50.518666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88174753-0.88171705) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88174753-0.88171705) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10450244-0.10455038) × cos(0.88174753) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.635803282685774 × 6371000     		do = 194.190688108717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10450244-0.10455038) × cos(0.88171705) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.635826808413244 × 6371000     		du = 194.197873471438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88174753)-sin(0.88171705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635803282685774-0.635826808413244)×R²
    abs(0.10455038-0.10450244)×2.35257274704415e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.35257274704415e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.35257274704415e-05×40589641000000     		ar = 37710.2145364309m²