Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68800 / 41920
↖ ↑ ↗
← N 54.265224°
E  8.964844°		 ← 178.38 m → N 54.265224°
E  8.967590°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
N 54.263620°
E  8.964844°		 ← 178.39 m →
31 821 m²		 N 54.263620°
E  8.967590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524906158447266 y=0.319828033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524906158447266 × 217)
    floor (0.524906158447266 × 131072)
    floor (68800.5)     		tx = 68800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319828033447266 × 217)
    floor (0.319828033447266 × 131072)
    floor (41920.5)     		ty = 41920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68800 / 41920 ti = "17/68800/41920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68800/41920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68800 ÷ 217
    68800 ÷ 131072     		x = 0.52490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41920 ÷ 217
    41920 ÷ 131072     		y = 0.31982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31982421875 × 2 - 1) × π
    0.3603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13207782142725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15646604} λ = 0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13207782142725))-π/2
    2×atan(3.10209540866655)-π/2
    2×1.25895157814009-π/2
    2.51790315628017-1.57079632675     		φ = 0.94710683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94710683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.265224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68800 KachelY 41920 0.15646604 0.94710683 8.964844 54.265224
    Oben rechts KachelX + 1 68801 KachelY 41920 0.15651398 0.94710683 8.967590 54.265224
    Unten links KachelX 68800 KachelY + 1 41921 0.15646604 0.94707883 8.964844 54.263620
    Unten rechts KachelX + 1 68801 KachelY + 1 41921 0.15651398 0.94707883 8.967590 54.263620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94710683-0.94707883) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dl = 178.387999999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94710683-0.94707883) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dr = 178.387999999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15646604-0.15651398) × cos(0.94710683) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.584034001048921 × 6371000     		do = 178.379016955514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15646604-0.15651398) × cos(0.94707883) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.58405672923743 × 6371000     		du = 178.385958729308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94710683)-sin(0.94707883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584034001048921-0.58405672923743)×R²
    abs(0.15651398-0.15646604)×2.27281885087915e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27281885087915e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27281885087915e-05×40589641000000     		ar = 31821.2952431177m²