Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68865 / 42239
↖ ↑ ↗
← N 53.750335°
E  9.143372°		 ← 180.60 m → N 53.750335°
E  9.146118°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
N 53.748711°
E  9.143372°		 ← 180.61 m →
32 620 m²		 N 53.748711°
E  9.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525402069091797 y=0.322261810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525402069091797 × 217)
    floor (0.525402069091797 × 131072)
    floor (68865.5)     		tx = 68865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322261810302734 × 217)
    floor (0.322261810302734 × 131072)
    floor (42239.5)     		ty = 42239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68865 / 42239 ti = "17/68865/42239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68865/42239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68865 ÷ 217
    68865 ÷ 131072     		x = 0.525398254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42239 ÷ 217
    42239 ÷ 131072     		y = 0.322257995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525398254394531 × 2 - 1) × π
    0.0507965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15958194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322257995605469 × 2 - 1) × π
    0.355484008789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.11678595044845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15958194} λ = 0.15958194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11678595044845))-π/2
    2×atan(3.05501942321678)-π/2
    2×1.25445832237867-π/2
    2.50891664475733-1.57079632675     		φ = 0.93812032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15958194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.143372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93812032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.750335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68865 KachelY 42239 0.15958194 0.93812032 9.143372 53.750335
    Oben rechts KachelX + 1 68866 KachelY 42239 0.15962988 0.93812032 9.146118 53.750335
    Unten links KachelX 68865 KachelY + 1 42240 0.15958194 0.93809197 9.143372 53.748711
    Unten rechts KachelX + 1 68866 KachelY + 1 42240 0.15962988 0.93809197 9.146118 53.748711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93812032-0.93809197) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93812032-0.93809197) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15958194-0.15962988) × cos(0.93812032) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.591304933029093 × 6371000     		do = 180.599746736047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15958194-0.15962988) × cos(0.93809197) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.591327795594016 × 6371000     		du = 180.606729551857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93812032)-sin(0.93809197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591304933029093-0.591327795594016)×R²
    abs(0.15962988-0.15958194)×2.28625649227876e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.28625649227876e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.28625649227876e-05×40589641000000     		ar = 32620.1685787613m²