Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68865 / 42240
↖ ↑ ↗
← N 53.748711°
E  9.143372°		 ← 180.61 m → N 53.748711°
E  9.146118°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
N 53.747087°
E  9.143372°		 ← 180.61 m →
32 610 m²		 N 53.747087°
E  9.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525402069091797 y=0.322269439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525402069091797 × 217)
    floor (0.525402069091797 × 131072)
    floor (68865.5)     		tx = 68865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322269439697266 × 217)
    floor (0.322269439697266 × 131072)
    floor (42240.5)     		ty = 42240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68865 / 42240 ti = "17/68865/42240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68865/42240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68865 ÷ 217
    68865 ÷ 131072     		x = 0.525398254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42240 ÷ 217
    42240 ÷ 131072     		y = 0.322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525398254394531 × 2 - 1) × π
    0.0507965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15958194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322265625 × 2 - 1) × π
    0.35546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11673801354883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15958194} λ = 0.15958194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11673801354883))-π/2
    2×atan(3.05487297856743)-π/2
    2×1.25444414944207-π/2
    2.50888829888413-1.57079632675     		φ = 0.93809197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15958194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.143372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93809197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.748711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68865 KachelY 42240 0.15958194 0.93809197 9.143372 53.748711
    Oben rechts KachelX + 1 68866 KachelY 42240 0.15962988 0.93809197 9.146118 53.748711
    Unten links KachelX 68865 KachelY + 1 42241 0.15958194 0.93806363 9.143372 53.747087
    Unten rechts KachelX + 1 68866 KachelY + 1 42241 0.15962988 0.93806363 9.146118 53.747087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93809197-0.93806363) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93809197-0.93806363) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15958194-0.15962988) × cos(0.93809197) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.591327795594016 × 6371000     		do = 180.606729551857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15958194-0.15962988) × cos(0.93806363) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.59135064961953 × 6371000     		du = 180.613709759512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93809197)-sin(0.93806363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591327795594016-0.59135064961953)×R²
    abs(0.15962988-0.15958194)×2.28540255139409e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.28540255139409e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.28540255139409e-05×40589641000000     		ar = 32609.9228872355m²