Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68866 / 42242
↖ ↑ ↗
← N 53.745463°
E  9.146118°		 ← 180.58 m → N 53.745463°
E  9.148865°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
N 53.743838°
E  9.146118°		 ← 180.59 m →
32 617 m²		 N 53.743838°
E  9.148865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525409698486328 y=0.322284698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525409698486328 × 217)
    floor (0.525409698486328 × 131072)
    floor (68866.5)     		tx = 68866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322284698486328 × 217)
    floor (0.322284698486328 × 131072)
    floor (42242.5)     		ty = 42242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68866 / 42242 ti = "17/68866/42242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68866/42242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68866 ÷ 217
    68866 ÷ 131072     		x = 0.525405883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42242 ÷ 217
    42242 ÷ 131072     		y = 0.322280883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525405883789062 × 2 - 1) × π
    0.050811767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15962988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322280883789062 × 2 - 1) × π
    0.355438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11664213974959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15962988} λ = 0.15962988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11664213974959))-π/2
    2×atan(3.0545801103282)-π/2
    2×1.25441580192514-π/2
    2.50883160385029-1.57079632675     		φ = 0.93803528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15962988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.146118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93803528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.745463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68866 KachelY 42242 0.15962988 0.93803528 9.146118 53.745463
    Oben rechts KachelX + 1 68867 KachelY 42242 0.15967781 0.93803528 9.148865 53.745463
    Unten links KachelX 68866 KachelY + 1 42243 0.15962988 0.93800693 9.146118 53.743838
    Unten rechts KachelX + 1 68867 KachelY + 1 42243 0.15967781 0.93800693 9.148865 53.743838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93803528-0.93800693) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93803528-0.93800693) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15962988-0.15967781) × cos(0.93803528) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.591373511234075 × 6371000     		do = 180.583015878671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15962988-0.15967781) × cos(0.93800693) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.59139637237332 × 6371000     		du = 180.589996802559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93803528)-sin(0.93800693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591373511234075-0.59139637237332)×R²
    abs(0.15967781-0.15962988)×2.28611392449896e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.28611392449896e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.28611392449896e-05×40589641000000     		ar = 32617.1465164783m²