Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71200 / 46624
↖ ↑ ↗
← N 46.012224°
E 15.556641°		 ← 212.12 m → N 46.012224°
E 15.559387°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
N 46.010316°
E 15.556641°		 ← 212.13 m →
44 989 m²		 N 46.010316°
E 15.559387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543216705322266 y=0.355716705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543216705322266 × 217)
    floor (0.543216705322266 × 131072)
    floor (71200.5)     		tx = 71200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355716705322266 × 217)
    floor (0.355716705322266 × 131072)
    floor (46624.5)     		ty = 46624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71200 / 46624 ti = "17/71200/46624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71200/46624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71200 ÷ 217
    71200 ÷ 131072     		x = 0.543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46624 ÷ 217
    46624 ÷ 131072     		y = 0.355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543212890625 × 2 - 1) × π
    0.08642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27151460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.355712890625 × 2 - 1) × π
    0.28857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.906582645614502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27151460} λ = 0.27151460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.906582645614502))-π/2
    2×atan(2.47584721271561)-π/2
    2×1.18693056448028-π/2
    2.37386112896057-1.57079632675     		φ = 0.80306480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27151460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.556641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80306480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.012224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71200 KachelY 46624 0.27151460 0.80306480 15.556641 46.012224
    Oben rechts KachelX + 1 71201 KachelY 46624 0.27156254 0.80306480 15.559387 46.012224
    Unten links KachelX 71200 KachelY + 1 46625 0.27151460 0.80303151 15.556641 46.010316
    Unten rechts KachelX + 1 71201 KachelY + 1 46625 0.27156254 0.80303151 15.559387 46.010316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80306480-0.80303151) × R
    3.32900000000746e-05 × 6371000     		dl = 212.090590000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80306480-0.80303151) × R
    3.32900000000746e-05 × 6371000     		dr = 212.090590000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27151460-0.27156254) × cos(0.80306480) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694504887761444 × 6371000     		do = 212.119669278263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27151460-0.27156254) × cos(0.80303151) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694528839131634 × 6371000     		du = 212.126984643227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80306480)-sin(0.80303151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694504887761444-0.694528839131634)×R²
    abs(0.27156254-0.27151460)×2.39513701900673e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39513701900673e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39513701900673e-05×40589641000000     		ar = 44989.3615720913m²