Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 767 / 258
↖ ↑ ↗
← N 66.231457°
E 89.648437°		 ← 15.756 km → N 66.231457°
E 90.000000°		 →
↑
15.800 km
↓
↑
15.800 km
↓
N 66.089364°
E 89.648437°		 ← 15.844 km →
249.642 km²		 N 66.089364°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74951171875 y=0.25244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74951171875 × 210)
    floor (0.74951171875 × 1024)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25244140625 × 210)
    floor (0.25244140625 × 1024)
    floor (258.5)     		ty = 258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 767 / 258 ti = "10/767/258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/767/258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 210
    767 ÷ 1024     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 258 ÷ 210
    258 ÷ 1024     		y = 0.251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251953125 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55852448044727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55852448044727))-π/2
    2×atan(4.75180468914848)-π/2
    2×1.36337666408679-π/2
    2.72675332817358-1.57079632675     		φ = 1.15595700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15595700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.231457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 258 1.56466040 1.15595700 89.648437 66.231457
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 258 1.57079633 1.15595700 90.000000 66.231457
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 259 1.56466040 1.15347701 89.648437 66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 259 1.57079633 1.15347701 90.000000 66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15595700-1.15347701) × R
    0.00247998999999988 × 6371000     		dl = 15800.0162899992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15595700-1.15347701) × R
    0.00247998999999988 × 6371000     		dr = 15800.0162899992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(1.15595700) × R
    0.00613593000000012 × 0.403042890509652 × 6371000     		do = 15755.7567183238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(1.15347701) × R
    0.00613593000000012 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 15844.432963481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15595700)-sin(1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403042890509652-0.405311288708903)×R²
    abs(1.57079633-1.56466040)×0.00226839819925118×R²
    0.00613593000000012×0.00226839819925118×6371000²
    0.00613593000000012×0.00226839819925118×40589641000000     		ar = 249641883.818571m²