Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8312 / 5272
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E  2.636719°		 ← 1 441.21 m → N 53.852527°
E  2.658691°		 →
↑
1 441.44 m
↓
↑
1 441.44 m
↓
N 53.839563°
E  2.636719°		 ← 1 441.65 m →
2 077 732 m²		 N 53.839563°
E  2.658691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507354736328125 y=0.321807861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507354736328125 × 214)
    floor (0.507354736328125 × 16384)
    floor (8312.5)     		tx = 8312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321807861328125 × 214)
    floor (0.321807861328125 × 16384)
    floor (5272.5)     		ty = 5272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8312 / 5272 ti = "14/8312/5272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8312/5272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8312 ÷ 214
    8312 ÷ 16384     		x = 0.50732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5272 ÷ 214
    5272 ÷ 16384     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50732421875 × 2 - 1) × π
    0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04601942} λ = 0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8312 KachelY 5272 0.04601942 0.93990390 2.636719 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 8313 KachelY 5272 0.04640292 0.93990390 2.658691 53.852527
    Unten links KachelX 8312 KachelY + 1 5273 0.04601942 0.93967765 2.636719 53.839563
    Unten rechts KachelX + 1 8313 KachelY + 1 5273 0.04640292 0.93967765 2.658691 53.839563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93967765) × R
    0.000226249999999983 × 6371000     		dl = 1441.43874999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93967765) × R
    0.000226249999999983 × 6371000     		dr = 1441.43874999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04601942-0.04640292) × cos(0.93990390) × R
    0.000383500000000002 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 1441.20600834759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04601942-0.04640292) × cos(0.93967765) × R
    0.000383500000000002 × 0.59004831073796 × 6371000     		du = 1441.65235158738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93967765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.59004831073796)×R²
    abs(0.04640292-0.04601942)×0.000182682096940279×R²
    0.000383500000000002×0.000182682096940279×6371000²
    0.000383500000000002×0.000182682096940279×40589641000000     		ar = 2077731.88424915m²