Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8400 / 5328
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E  4.570312°		 ← 1 466.30 m → N 53.120405°
E  4.592285°		 →
↑
1 466.48 m
↓
↑
1 466.48 m
↓
N 53.107217°
E  4.570312°		 ← 1 466.75 m →
2 150 622 m²		 N 53.107217°
E  4.592285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512725830078125 y=0.325225830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512725830078125 × 214)
    floor (0.512725830078125 × 16384)
    floor (8400.5)     		tx = 8400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325225830078125 × 214)
    floor (0.325225830078125 × 16384)
    floor (5328.5)     		ty = 5328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8400 / 5328 ti = "14/8400/5328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8400/5328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8400 ÷ 214
    8400 ÷ 16384     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5328 ÷ 214
    5328 ÷ 16384     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8400 KachelY 5328 0.07976700 0.92712597 4.570312 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 8401 KachelY 5328 0.08015050 0.92712597 4.592285 53.120405
    Unten links KachelX 8400 KachelY + 1 5329 0.07976700 0.92689579 4.570312 53.107217
    Unten rechts KachelX + 1 8401 KachelY + 1 5329 0.08015050 0.92689579 4.592285 53.107217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92689579) × R
    0.000230179999999969 × 6371000     		dl = 1466.4767799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92689579) × R
    0.000230179999999969 × 6371000     		dr = 1466.4767799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.08015050) × cos(0.92712597) × R
    0.000383499999999995 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 1466.29789500498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.08015050) × cos(0.92689579) × R
    0.000383499999999995 × 0.600319494529975 × 6371000     		du = 1466.74771411594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92689579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.600319494529975)×R²
    abs(0.08015050-0.07976700)×0.000184104722797507×R²
    0.000383499999999995×0.000184104722797507×6371000²
    0.000383499999999995×0.000184104722797507×40589641000000     		ar = 2150621.64972302m²