Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8460 / 5532
↖ ↑ ↗
← N 50.345461°
E  5.888672°		 ← 1 559.20 m → N 50.345461°
E  5.910645°		 →
↑
1 559.43 m
↓
↑
1 559.43 m
↓
N 50.331436°
E  5.888672°		 ← 1 559.66 m →
2 431 815 m²		 N 50.331436°
E  5.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516387939453125 y=0.337677001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516387939453125 × 214)
    floor (0.516387939453125 × 16384)
    floor (8460.5)     		tx = 8460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337677001953125 × 214)
    floor (0.337677001953125 × 16384)
    floor (5532.5)     		ty = 5532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8460 / 5532 ti = "14/8460/5532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8460/5532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8460 ÷ 214
    8460 ÷ 16384     		x = 0.516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5532 ÷ 214
    5532 ÷ 16384     		y = 0.337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516357421875 × 2 - 1) × π
    0.03271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10277671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337646484375 × 2 - 1) × π
    0.32470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02009722391479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10277671} λ = 0.10277671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02009722391479))-π/2
    2×atan(2.77346439792296)-π/2
    2×1.22474518716945-π/2
    2.44949037433889-1.57079632675     		φ = 0.87869405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10277671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87869405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.345461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8460 KachelY 5532 0.10277671 0.87869405 5.888672 50.345461
    Oben rechts KachelX + 1 8461 KachelY 5532 0.10316021 0.87869405 5.910645 50.345461
    Unten links KachelX 8460 KachelY + 1 5533 0.10277671 0.87844928 5.888672 50.331436
    Unten rechts KachelX + 1 8461 KachelY + 1 5533 0.10316021 0.87844928 5.910645 50.331436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87869405-0.87844928) × R
    0.000244770000000005 × 6371000     		dl = 1559.42967000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87869405-0.87844928) × R
    0.000244770000000005 × 6371000     		dr = 1559.42967000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10277671-0.10316021) × cos(0.87869405) × R
    0.000383500000000009 × 0.638157147019085 × 6371000     		do = 1559.1956369331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10277671-0.10316021) × cos(0.87844928) × R
    0.000383500000000009 × 0.638345577824959 × 6371000     		du = 1559.65602586984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87869405)-sin(0.87844928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638157147019085-0.638345577824959)×R²
    abs(0.10316021-0.10277671)×0.000188430805874829×R²
    0.000383500000000009×0.000188430805874829×6371000²
    0.000383500000000009×0.000188430805874829×40589641000000     		ar = 2431814.9217933m²